逆袭数学

已知函数 $f(x)=xe^x+ax+b$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$。

1. 求 $a,b$；

2. 当 $x>0$ 时，$f(x+m)-f(x)>m$，求 $m$ 的取值范围；

3. 当 $x>0$ 时，$f(x+\boldsymbol{k})+f(\boldsymbol{k}-x)>2f(\boldsymbol{k})$，求 $\boldsymbol{k}$ 的最小值。

第一问

第二问

一个严格减函数恒大与0怎么理解

一个严格增函数恒大与0怎么理解

第三问思路分析

第三问详解

先满足必要条件再研究充分性

详细总结

第一问

$f'(x)=(x+1)e^x+a$，

$$\begin{cases} -2=f'(0)=1+a, \\ 1=f(0)=b, \end{cases}$$

解得： $a=-3,b=1$

第二问

思路分析

第一问可以知道:

$f'(x)= (x+1)e^x-3$

导数的形式没有变简单：

• 使用基本函数和它们的组合研究单调性
• 必须求导数时，要想办法进行一些化简

详解

由(1)知 $f(x)=xe^x-3x+1$

$令h(x) = f(x+m)-f(x)-m$：

$$\begin{aligned} &\qquad f(x+m)-f(x)-m \\ &=(x+m)e^{x+m}-3(x+m)+1 \\ &\quad-(xe^x-3x+1)-m \\ &=(x+m)e^{x+m}-xe^x-4m\\ &=e^m(x+m)e^x-xe^x-4m\\ &={\Large \boxed{(e^m-1)xe^x+me^me^x-4m}} \end{aligned}$$

$\Large \boxed{h(0)=me^m-4m}$

$m = 0时，h(x)=0, \textcolor{red}{不满足条件}$

$m \lt 0时$:

$$\begin{aligned} &\qquad \quad m \lt 0 \\ &\implies e^m-1 \lt 0, me^m \lt 0 \\ &\implies {\Large \boxed{h(x)是单调减}} \end{aligned}$$

$m \lt 0时$:

$$\begin{aligned} &\qquad e^m \lt 1 \\ &\implies h(x) < (1-1)xe^x + me^me^x-4m \\ &\implies {\Large \boxed{h(x) \lt m(e^me^x-4)}}\\ \end{aligned}$$

$m \lt 0时$:

当 $x\gt -m + 2$时：

$$\begin{aligned} &\qquad x+m \gt 2 \\ & \implies e^me^x \gt e^2 \gt 4 \\ &\implies e^me^x-4 \gt 0 \\ &\implies m(e^me^x - 4) \lt 0 \quad (m\lt 0, 不等号换方向) \\ &{\Large \boxed{h(x) \lt 0，不满足条件}} \end{aligned}$$

当$m \gt 0时$:

$$\begin{aligned} &\qquad \quad m \gt 0 \\ &\implies e^m-1 \gt 0, me^m \gt 0 \\ &\implies h(x)是单调增 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\qquad 需满足h(0)\geq 0 \\ &\implies me^m-4m \geq 0 \\ &\implies e^m \geq 4 \\ &\implies m \geq ln4 \\ \end{aligned}$$

一个严格减函数恒大与0怎么理解

$h(x)=\textcolor{green}{(e^m-1)}xe^x+\textcolor{red}{me^m}e^x-4m$

当$m \lt 0时$，

$\textcolor{green}{(e^m-1)} \lt 0 并且 \textcolor{red}{me^m} \lt 0$，

$\therefore h(x)在(0, +\infty)单调减$

题目要求: $满足当 x\gt 0时，h(x)\gt 0的m的取值范围$

对于一个给定的$m$，分成两种情况：

• 能找到一个$x\gt 0$其函数值小于$0$，那么这个$m$就不满足要求
• $h(0) > 0$ $x趋向+\infty时，f(x) > 0$，那么这个$m$就满足要求

$h(x)= \underbrace{(e^m-1)xe^x}_{\text{第一部分}}+ \underbrace{me^me^x-4m}_{\text{第二部分}}$

第一部分：

• $e^m-1 \lt 0$
• $xe^x \gt 0$

第一部分是恒小于0的，

$h(x)= \underbrace{(e^m-1)xe^x}_{\text{第一部分}}+ \underbrace{me^me^x-4m}_{\text{第二部分}}$

第二部分先写成积的形式：$\textcolor{red}{m}\textcolor{green}{(e^{m+x}-4)}$，$m \lt 0$

$不管m取任何值，只要x足够大，e^{m+x}都会大于4$

比如：$x=-m+2，e^{x+m}=e^2 \gt 4$

也就是对于任意的$m\lt 0$，都有$x=-m+2$使得$h(x)\lt 0，不满足h(x) \gt 0恒成立$

一个严格增函数恒大与0怎么理解

$h(x)=\textcolor{green}{(e^m-1)}xe^x+\textcolor{red}{me^m}e^x-4m$

当$m \gt 0时$，

$\textcolor{green}{(e^m-1)} \gt 0 并且 \textcolor{red}{me^m} \gt 0$，

$\therefore h(x)在(0, +\infty)严格单调增$

题目要求: $满足当 x\gt 0时，h(x)\gt 0的m的取值范围$

$h(x)= \underbrace{(e^m-1)xe^x}_{\text{第一部分}}+ \underbrace{me^me^x-4m}_{\text{第二部分}}$

$h(x)$恒大于0的条件：$\Large \boxed{h(0) \textcolor{red}{\geq} 0}$

$h(0) = m(e^m - 4) \implies m\geq \ln4$

第三问思路分析

$\large 令h(x) = f(x+k)+f(k-x)-2f(k)$，问题转化为 $\large x \gt 0时，h(x) > 0恒成立$

$\therefore \large h(0)=f(k)+f(k)-2f(k) = 0$

关键结论：$\large x \gt 0时，h(x) > 0恒成立的 \textcolor{red}{必要条件}$：

$$\Large \colorbox{yellow}{\(h'(0)\geq 0\)}$$

$$\begin{aligned} h'(x)&=f'(x+k)-f'(k-x) \\ &=\big[(x+k+1)e^{x+k}-3\big]-\big[(k-x+1)e^{k-x}-3\big] \\ &=(x+k+1)e^{x+k}-(k-x+1)e^{k-x} \end{aligned}$$

$\large h'(0) = (k+1)e^k-(k+1)e^k = 0$

关键结论：要满足题目要求的必要条件是:

$$\Large \colorbox{yellow}{\(h''(0)\geq 0\)}$$

已知 $\large h'(0)=0$，如果 $\large h''(0) < 0$，

那么 $\large \colorbox{yellow}{\(x趋向于0时，h'(x)\lt 0\)}$

又已知 $\large h(0)=0$， 那么 $\large \colorbox{yellow}{\(x趋向于0时，h(x)\lt 0\)}$，不满足 $\large x \gt 0时，h(x) > 0恒成立$

$\large h''(x)=(x+k+2)e^{x+k}+(k-x+2)e^{k-x}$

$\large h''(0) = 2e^k(k+2)$

$$\large \colorbox{yellow}{\(h''(0) \geq 0 \implies k\geq -2\)}$$

$$\begin{aligned} h''&=(x+k+2)e^{x+k}+(k-x+2)e^{k-x} \\ &=\colorbox{yellow}{\(e^k[(xe^x-xe^{-x}) + (k+2)(e^x+e^{-x})]\)} \end{aligned}$$

可以得到 $\large k\geq -2时，h''(x)恒大于0$，进而得到h’(x)和h(x)都是恒大于0。

要求的$k$的最小值为$-2$

第三问详解

解题大纲

1. 构造 $\large h(x)$，计算$\large h(0)$
2. 计算 $\large h'(x)$和$\large h'(0)$
3. 证明要满足题目条件，需满足 $\large h''(0)\geq 0$
4. 计算 $\large h''(x),h''(0)$
5. 求得当 $\large k\geq -2$时，$\large h''(0)\geq 0$
6. 证明当 $\large k=-2$时，$\large h(x) > 0$恒成立，得到答案$\large k$的最小值为$\large -2$

令 $\large h(x) = f(x+k)+f(k-x)-2f(k)$

当 $\large h(x)\gt 0$恒成立时，满足题目要求

$\large h(0)=f(k)+f(k)-2f(k) = 0$

$$\begin{aligned} f'(x) &= (x)'e^{x}+x(e^{x})' - 3\\ &=(x+1)e^{x} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} h'(x)&=f'(x+k)\colorbox{yellow}{\((x+k)'\)}+f'(k-x) \colorbox{yellow}{\((k-x)'\)}\\ &=f'(x+k)-f'(k-x) \\ &=\big[(x+k+1)e^{x+k}-3\big]-\big[(k-x+1)e^{k-x}-3\big] \\ &=(x+k+1)e^{x+k}-(k-x+1)e^{k-x} \end{aligned}$$

$\large h'(0) = (k+1)e^k - (k+1)e^k = 0$

引理：满足题目条件的必要条件为 $\large h''(0) \geq 0$

证明：如果 $\large h''(0) \lt 0$，又 $\large \because h'(0) = 0$

$\large \therefore$，存在 $\large a$使得 $\large x \in (0,a)$时，$\large h'(x) \lt 0$

又 $\large \because h'(0) = 0,h(0) = 0$，存在 $\large b$使得 $\large x \in (0,b)$时，$\large h(x) \lt 0$，不满足题目条件

$\large \therefore$满足题目条件的必要条件为 $\large h''(0) \geq 0$

$$\begin{aligned} f''(x)&=[(x+1)e^x-3]' \\ &=(x+1)'e^x + (x+1)(e^x)' \\ &=(x+2)e^x \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} h'(x)&=f'(x+k)(x+k)' + f'(k-x)(k-x)' \\ &=f'(x+k)-f'(k-x) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} h''(x) &= f''(x+k)(x+k)'-f''(k-x)(k-x)' \\ &=f''(x+k)+f''(k-x) \\ &=(x+k+2)e^{x+k}+(k-x+2)e^{k-x} \end{aligned}$$

$h''(0) = 2(k+2)e^k$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad 2(k+2)e^k \geq 0 \\ &\implies {\Large \colorbox{yellow}{\(k\geq -2\)} } \end{aligned}$$

当$\large k=-2$时，$\large h''(0) = 0$

$$\begin{aligned} h''(x)&= (x)e^{x-2}+(-x)e^{-2-x} \\ &=e^{-2}x[e^x-e^{-x}] \\ \end{aligned}$$

当 $\large x\gt 0时$，$\large e^x > 1 > e^{-x}$

$\large \therefore h''(x)恒大于0$

$\large \therefore h'(x)恒大于0$

$\large \therefore h(x)恒大于0$，满足条件

$\large \colorbox{yellow}{\(k的最小值为-2\)}$

先满足必要条件再研究充分性

令$\large h(x) = f(x+k)+f(k-x)-2f(k)$，原问问题转化为 $\large x \gt 0时，h(x) > 0$恒成立。

关键的破局点是 $\large h(0) = 0$，满足 $\large h(x)恒大于0$的必要条件：

$$\large \colorbox{yellow}{\(h'(0)\geq 0\)}$$

计算出 $\large h'(x)$发现$\large h'(0)$恒等于$\large 0$，与$\large k$无关，类似的需满足必要条件：

$$\large \colorbox{yellow}{\(h''(0)\geq 0\)}$$

从而得到 $\large k\geq -2$，

当$\large k\geq -2$时，$\large h''(x) \gt 0恒成立$，也满足了充分性。

详细总结

内容提要：

• 第二问使用初等方法判断函数单调性
• 第二问在已知函数单调性的情况下，函数恒大于 $0$ 怎么处理
• 第三问利用区间端点先得到必要条件再验证充分性
• 两问都是在闭区间上连续，开区间上考察恒大于 $0$ 的问题

$h(x)=(e^m-1)xe^x+me^me^x-4m$:

• $m \gt 0时，e^m-1 \gt 0$
• $m \lt 0时，e^m-1 \lt 0$
• $m = 0时，h(x)恒等于0$

$x > 0时h(x)恒大于0$:

在函数严格增的情况下，$h(0)\geq 0是充分必要条件$

在函数严格减的情况下：

• $x趋向无穷大时，h(x)\gt 0是充分条件$
• $h(0) \geq 0是必要条件$
• 否定结论，只需举出一点函数值小于0

第三问函数单调性不确定，但是有$h(0)=0和h'(0)=0$;

得到必要条件：$h''(0)\geq 0$;

然后验证充分性

两问函数都是在 $[0, +\infty]$ 上连续，考察 $x \gt 0时， h(x) \gt 0恒成立$；

$h(0)是一个关键抓手$