已知函数 $f(x)=xe^x+ax+b$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$。

2. 当 $x>0$ 时，$f(x+m)-f(x)>m$，求 $m$ 的取值范围；

第二问

思路分析

第一问可以知道:

$f'(x)= (x+1)e^x-3$

导数的形式没有变简单：

• 使用基本函数和它们的组合研究单调性
• 必须求导数时，要想办法进行一些化简

详解

由(1)知 $f(x)=xe^x-3x+1$

$令h(x) = f(x+m)-f(x)-m$：

$$\begin{aligned} &\qquad f(x+m)-f(x)-m \\ &=(x+m)e^{x+m}-3(x+m)+1 \\ &\quad-(xe^x-3x+1)-m \\ &=(x+m)e^{x+m}-xe^x-4m\\ &=e^m(x+m)e^x-xe^x-4m\\ &={\Large \boxed{(e^m-1)xe^x+me^me^x-4m}} \end{aligned}$$

$\Large \boxed{h(0)=me^m-4m}$

$m = 0时，h(x)=0, \textcolor{red}{不满足条件}$

$m \lt 0时$:

$$\begin{aligned} &\qquad \quad m \lt 0 \\ &\implies e^m-1 \lt 0, me^m \lt 0 \\ &\implies {\Large \boxed{h(x)是单调减}} \end{aligned}$$

$m \lt 0时$:

$$\begin{aligned} &\qquad e^m \lt 1 \\ &\implies h(x) < (1-1)xe^x + me^me^x-4m \\ &\implies {\Large \boxed{h(x) \lt m(e^me^x-4)}}\\ \end{aligned}$$

$m \lt 0时$:

当 $x\gt -m + 2$时：

$$\begin{aligned} &\qquad x+m \gt 2 \\ & \implies e^me^x \gt e^2 \gt 4 \\ &\implies e^me^x-4 \gt 0 \\ &\implies m(e^me^x - 4) \lt 0 \quad (m\lt 0, 不等号换方向) \\ &{\Large \boxed{h(x) \lt 0，不满足条件}} \end{aligned}$$

当$m \gt 0时$:

$$\begin{aligned} &\qquad \quad m \gt 0 \\ &\implies e^m-1 \gt 0, me^m \gt 0 \\ &\implies h(x)是单调增 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\qquad 需满足h(0)\geq 0 \\ &\implies me^m-4m \geq 0 \\ &\implies e^m \geq 4 \\ &\implies m \geq ln4 \\ \end{aligned}$$