已知函数 $f(x)=xe^x+ax+b$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$。

3. 当 $x>0$ 时，$f(x+\boldsymbol{k})+f(\boldsymbol{k}-x)>2f(\boldsymbol{k})$，求 $\boldsymbol{k}$ 的最小值。

第三问思路分析

$\large 令h(x) = f(x+k)+f(k-x)-2f(k)$，问题转化为 $\large x \gt 0时，h(x) > 0恒成立$

$\therefore \large h(0)=f(k)+f(k)-2f(k) = 0$

关键结论：$\large x \gt 0时，h(x) > 0恒成立的 \textcolor{red}{必要条件}$：

$$\Large \colorbox{yellow}{\(h'(0)\geq 0\)}$$

$$\begin{aligned} h'(x)&=f'(x+k)-f'(k-x) \\ &=\big[(x+k+1)e^{x+k}-3\big]-\big[(k-x+1)e^{k-x}-3\big] \\ &=(x+k+1)e^{x+k}-(k-x+1)e^{k-x} \end{aligned}$$

$\large h'(0) = (k+1)e^k-(k+1)e^k = 0$

关键结论：要满足题目要求的必要条件是:

$$\Large \colorbox{yellow}{\(h''(0)\geq 0\)}$$

已知 $\large h'(0)=0$，如果 $\large h''(0) < 0$，

那么 $\large \colorbox{yellow}{\(x趋向于0时，h'(x)\lt 0\)}$

又已知 $\large h(0)=0$， 那么 $\large \colorbox{yellow}{\(x趋向于0时，h(x)\lt 0\)}$，不满足 $\large x \gt 0时，h(x) > 0恒成立$

$\large h''(x)=(x+k+2)e^{x+k}+(k-x+2)e^{k-x}$

$\large h''(0) = 2e^k(k+2)$

$$\large \colorbox{yellow}{\(h''(0) \geq 0 \implies k\geq -2\)}$$

$$\begin{aligned} h''&=(x+k+2)e^{x+k}+(k-x+2)e^{k-x} \\ &=\colorbox{yellow}{\(e^k[(xe^x-xe^{-x}) + (k+2)(e^x+e^{-x})]\)} \end{aligned}$$

可以得到 $\large k\geq -2时，h''(x)恒大于0$，进而得到h’(x)和h(x)都是恒大于0。

要求的$k$的最小值为$-2$