已知函数 $f(x)=xe^x+ax+b$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$。

3. 当 $x>0$ 时，$f(x+\boldsymbol{k})+f(\boldsymbol{k}-x)>2f(\boldsymbol{k})$，求 $\boldsymbol{k}$ 的最小值。

先满足必要条件再研究充分性

令$\large h(x) = f(x+k)+f(k-x)-2f(k)$，原问问题转化为 $\large x \gt 0时，h(x) > 0$恒成立。

关键的破局点是 $\large h(0) = 0$，满足 $\large h(x)恒大于0$的必要条件：

$$\large \colorbox{yellow}{\(h'(0)\geq 0\)}$$

计算出 $\large h'(x)$发现$\large h'(0)$恒等于$\large 0$，与$\large k$无关，类似的需满足必要条件：

$$\large \colorbox{yellow}{\(h''(0)\geq 0\)}$$

从而得到 $\large k\geq -2$，

当$\large k\geq -2$时，$\large h''(x) \gt 0恒成立$，也满足了充分性。