已知函数 $f(x)=xe^x+ax+b$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$。

1. 求 $a,b$；

2. 当 $x>0$ 时，$f(x+m)-f(x)>m$，求 $m$ 的取值范围；

3. 当 $x>0$ 时，$f(x+\boldsymbol{k})+f(\boldsymbol{k}-x)>2f(\boldsymbol{k})$，求 $\boldsymbol{k}$ 的最小值。

详细总结

内容提要：

• 第二问使用初等方法判断函数单调性
• 第二问在已知函数单调性的情况下，函数恒大于 $0$ 怎么处理
• 第三问利用区间端点先得到必要条件再验证充分性
• 两问都是在闭区间上连续，开区间上考察恒大于 $0$ 的问题

$h(x)=(e^m-1)xe^x+me^me^x-4m$:

• $m \gt 0时，e^m-1 \gt 0$
• $m \lt 0时，e^m-1 \lt 0$
• $m = 0时，h(x)恒等于0$

$x > 0时h(x)恒大于0$:

在函数严格增的情况下，$h(0)\geq 0是充分必要条件$

在函数严格减的情况下：

• $x趋向无穷大时，h(x)\gt 0是充分条件$
• $h(0) \geq 0是必要条件$
• 否定结论，只需举出一点函数值小于0

第三问函数单调性不确定，但是有$h(0)=0和h'(0)=0$;

得到必要条件：$h''(0)\geq 0$;

然后验证充分性

两问函数都是在 $[0, +\infty]$ 上连续，考察 $x \gt 0时， h(x) \gt 0恒成立$；

$h(0)是一个关键抓手$