逆袭数学

已知函数$y=f(x)$的定义域为$R$．对于正实数$a$，定义集合$M_{a}=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$．

（1）若$f(x)=\sin x$，判断$\dfrac{\pi}{3}$是否是$M_{\pi}$中的元素，请说明理由；

（2）若$f(x)=\begin{cases} x+2,& x<0 \\ \sqrt{x},& x\ge 0 \end{cases}$，$M_{a}不等于 \varnothing$，求$a$的取值范围；

（3）若$y=f(x)$是偶函数，当$x\in(0,1]$时，$f(x)=1-x$，且对任意$a\in(0,2)$，均有$M_{a}\subseteq M_{2}$．写出$y=f(x)$，$x\in(1,2)$解析式，并证明：对任意实数$c$，函数$y=f(x)-c$在$[-3,3]$上至多有$9$个零点．

第一问

第二问

第三问第一部分

第三问第二部分

第一问

思路分析

$M_{a}=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$

这是描述法表示集合，

• 代表元素(元素记号)：$x$，范围全体实数 $\mathbb{\mathbb{R}}$；
• 约束条件：关于$x$的方程 $f(x+a) = f(x)$，$a$看成常数；
• 下标 $a$：说明这个集合依赖参数 $a$，对每一个固定实数 $a$，都对应一个专属集合 $D(a)$，是含参集合。

目标：理解集合

详解

$f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，

$f\left(\dfrac{\pi}{3}+\pi\right)=-\sin\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，

$\Large \boxed{则\dfrac{\pi}{3}不是M_{\pi}中的元素}$

第二问

因为$M_a 不等于 \varnothing$，则存在实数$x_0$使得$f(x_0 + a) = f(x_0)$，且$a\gt0$，

当$x\lt0$时，$f(x)=x+2$，

在$(-\infty,0)$上严格单调递增，

当$x\ge0$时，$f(x)=\sqrt{x}$，

在$[0,+\infty)$上也严格单调递增，

则：$\Large \boxed{x_0 < 0 \le x_0 + a}$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad x_0 + 2 = \sqrt{x_0 + a} \\ &\implies{\Large\boxed{(x_0+2)^2 = x_0 + a 并且x_0 + 2 \geq 0 }} \end{aligned}$$

第一种：

方程$x_0^2 + 3x_0 + 4-a = 0$在[-2, 0)上有解。

第二种:

求函数$a=x_0^2 + 3x_0 +4$在[-2,0)上的值域。

第一种方法首先要保证有根，然后还要检查在[-2, 0)这个范围内，计算量比较大。

$$\begin{aligned} f(x_0) &= x_0^2 + 3x_0 + 4 \\ &= (x_0 + \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} \end{aligned}$$

$x_0 = -\frac{3}{2}时取得最小值\frac{7}{4}$

$x_0 = -2时，f(x_0) = 2$

$x_0 = 0时，f(x_0) = 4$，这里取不到

$\Large a的范围为：\boxed{[\frac{7}{,4},4)}$

第三问第一部分

$-1\lt x \lt 0时, 0\lt -x \lt 1$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad f(x)是偶函数 \\ &\implies f(x)=f(-x) \\ &\implies f(x)=1-(\textcolor{red}{-x}) \\ &\implies f(x)=1+x \end{aligned}$$

$\therefore \large \boxed{x\in (-1, 0)时,f(x) = 1+x}$

令: $x_0 \lt 0，x_0 + a \gt 0$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad 1+x_0 =1-(x_0+a) \quad(解方程f(x)=f(x+a)) \\ & \implies x_0 = - \frac{a}{2} \\ & {\Large \implies \boxed{-\frac{a}{2} \in M_a}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad 对任意a\in(0,2)，均有M_{a}\subseteq M_{2} \\ &\implies 对任意a\in(0,2)，均有-\frac{a}{2} \in M_2 \\ &{\implies 对任意a\in(0,2) f(-\frac{a}{2}) = f(-\frac{a}{2}+2)} \end{aligned}$$

令$b=-\frac{a}{2},b\in(-1,0)$，

则有$\large \boxed{b\in (-1, 0)时，f(b+2)=f(b)}当$

令$t=b+2$，那么$b=t-2$

$\because b\in(-1,0), t\in (1,2)$

$f(t)=f(t-2)=1+t-2=t-1$

$\therefore \large \boxed{t\in (1,2)时，f(t)=t-1}$

第三问第二部分

思路分析

用同样的方法可以求出$x\in (2，3)时，f(x)=3-x$。

已经有解析式的包含了$(0,1]，(1,2)，(2,3)$。

利用偶函数的性质还可以得到$[-1,0)，(-2,-1)，(-3,-2)$的解析式。

在要证明的区间内有5个函数值不确定：

$f(-3)=f(3),f(-2)=f(2)，f(0)$

已有解析式的 $\Large \textcolor{red}{6个区间}$都是直线，和$f(x)和y=c$ 最多有$\Large \textcolor{red}{6个交点}$

如果$f(2)不等于f(3)$，那么$y=f(x)-c$在剩余的5个点里最多有三个零点：$-2，0，2$或者$-3，0，3$

$\Large \boxed{如果f(2)不等于f(3)时，最多有9个零点}$

如果$f(2)=f(3)$：

$$\begin{aligned} &\qquad \quad f(2) = f(3) \\ &\implies f(-3) = f(-2) \quad(f(x)是偶函数) \\ & \implies f(-3) = f(-3+1) \\ & \implies -3 \in M_1 \quad(M_1的定义) \\ &\implies -3 \in M_2 (对任意a\in(0,2)，均有M_{a}\subseteq M_{2})\\ &\implies f(-3)=f(-3+2) \quad{M_2的定义}\\ &\implies f(-3) = 0 \quad(f(-1)=f(1)=0) \end{aligned}$$

当$c=0$时，$f(x)=c$最多有$7$个零点 $-3，-2，-1，0，1，2，3$

当c不等于0时，$f(x)=c$最多有$6$个零点