已知函数$y=f(x)$的定义域为$R$．对于正实数$a$，定义集合$M_{a}=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$．

（2）若$f(x)=\begin{cases} x+2,& x<0 \\ \sqrt{x},& x\ge 0 \end{cases}$，$M_{a}不等于 \varnothing$，求$a$的取值范围；

第二问

因为$M_a 不等于 \varnothing$，则存在实数$x_0$使得$f(x_0 + a) = f(x_0)$，且$a\gt0$，

当$x\lt0$时，$f(x)=x+2$，

在$(-\infty,0)$上严格单调递增，

当$x\ge0$时，$f(x)=\sqrt{x}$，

在$[0,+\infty)$上也严格单调递增，

则：$\Large \boxed{x_0 < 0 \le x_0 + a}$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad x_0 + 2 = \sqrt{x_0 + a} \\ &\implies{\Large\boxed{(x_0+2)^2 = x_0 + a 并且x_0 + 2 \geq 0 }} \end{aligned}$$

第一种：

方程$x_0^2 + 3x_0 + 4-a = 0$在[-2, 0)上有解。

第二种:

求函数$a=x_0^2 + 3x_0 +4$在[-2,0)上的值域。

第一种方法首先要保证有根，然后还要检查在[-2, 0)这个范围内，计算量比较大。

$$\begin{aligned} f(x_0) &= x_0^2 + 3x_0 + 4 \\ &= (x_0 + \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4} \end{aligned}$$

$x_0 = -\frac{3}{2}时取得最小值\frac{7}{4}$

$x_0 = -2时，f(x_0) = 2$

$x_0 = 0时，f(x_0) = 4$，这里取不到

$\Large a的范围为：\boxed{[\frac{7}{,4},4)}$