已知函数$y=f(x)$的定义域为$R$．对于正实数$a$，定义集合$M_{a}=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$．

（1）若$f(x)=\sin x$，判断$\dfrac{\pi}{3}$是否是$M_{\pi}$中的元素，请说明理由；

（2）若$f(x)=\begin{cases} x+2,& x<0 \\ \sqrt{x},& x\ge 0 \end{cases}$，$M_{a}不等于 \varnothing$，求$a$的取值范围；

（3）若$y=f(x)$是偶函数，当$x\in(0,1]$时，$f(x)=1-x$，且对任意$a\in(0,2)$，均有$M_{a}\subseteq M_{2}$．写出$y=f(x)$，$x\in(1,2)$解析式，并证明：对任意实数$c$，函数$y=f(x)-c$在$[-3,3]$上至多有$9$个零点．

第三问第二部分

思路分析

用同样的方法可以求出$x\in (2，3)时，f(x)=3-x$。

已经有解析式的包含了$(0,1]，(1,2)，(2,3)$。

利用偶函数的性质还可以得到$[-1,0)，(-2,-1)，(-3,-2)$的解析式。

在要证明的区间内有5个函数值不确定：

$f(-3)=f(3),f(-2)=f(2)，f(0)$

已有解析式的 $\Large \textcolor{red}{6个区间}$都是直线，和$f(x)和y=c$ 最多有$\Large \textcolor{red}{6个交点}$

如果$f(2)不等于f(3)$，那么$y=f(x)-c$在剩余的5个点里最多有三个零点：$-2，0，2$或者$-3，0，3$

$\Large \boxed{如果f(2)不等于f(3)时，最多有9个零点}$

如果$f(2)=f(3)$：

$$\begin{aligned} &\qquad \quad f(2) = f(3) \\ &\implies f(-3) = f(-2) \quad(f(x)是偶函数) \\ & \implies f(-3) = f(-3+1) \\ & \implies -3 \in M_1 \quad(M_1的定义) \\ &\implies -3 \in M_2 (对任意a\in(0,2)，均有M_{a}\subseteq M_{2})\\ &\implies f(-3)=f(-3+2) \quad{M_2的定义}\\ &\implies f(-3) = 0 \quad(f(-1)=f(1)=0) \end{aligned}$$

当$c=0$时，$f(x)=c$最多有$7$个零点 $-3，-2，-1，0，1，2，3$

当c不等于0时，$f(x)=c$最多有$6$个零点