逆袭数学

19.（1）设函数$f(x)=5\cos x-\cos5x$，求$f(x)$在$\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$的最大值；

（2）给定$\theta\in(0,\pi)$，设$a$为实数，证明：存在$y\in[a-\theta,a+\theta]$，使得$\cos y\leqslant\cos\theta$；

（3）若存在$\varphi$使得对任意$x$，都有$5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b$，求$b$的最小值。

第一问

第二问

第三问核心要点

第三问一个常见误区

第三问的一个启发

第一问

思路分析

有极大值点：

• 有驻点，就是导数为0的点。
• 导数是由正转负，就是驻点左边导数值大于0，右边是小于0。

极大值点中最大的点为最大值点。

$$\begin{aligned} f'(x)&=-5\sin x+5\sin5x \\ &=10\cos3x\sin2x \end{aligned}$$

因为$x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$，故$2x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，故$3x\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right]$

只有$x=0时，sin2x = 0$, $x=\frac{\pi}{6}时，cos3x = 0$

驻点为 $\Large \boxed{x=0,x=\frac{\pi}{6}}$

$0 \lt x \lt \frac{pi}{6}时，f'(x) > 0，故不是极大值点$

当$0<x<\frac{\pi}{6}$时，$\cos3x>0)$即$f'(x)>0$，

当$\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{4}$时，$\cos3x<0)$即$f'(x)<0$，

故$(f(x))$在$\left(0,\frac{\pi}{6}\right)$上为增函数，在$\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right)$为减函数，

故$(f(x))$在$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$上的最大值为：

$\large \boxed{f\left(\frac{\pi}{6}\right)=5\cos\frac{\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}=3\sqrt{3}}$．

第二问

思路分析

在$[-\pi, \pi]$，比$\cos\theta$大的区间为$(-\theta +\theta)$

考虑到周期性，比$\cos\theta$大的区间为$(2k\pi-\theta 2k\pi+\theta)$

每个周期内比$[a-\theta,a+\theta]$刚好少了两个点，

$[a-\theta,a+\theta]$里的点是没有办法全部塞进去的，必然有点不在$(2k\pi-\theta, 2k\pi+\theta)$内，所以必然存在点$y$满足$\cos y\leqslant\cos\theta$。

证明

使用反证法，假设结论不成立，也就是

$\textcolor{red}{对任意的}y\in[a-\theta,a+\theta]$，$\cos y\textcolor{red}{\gt}\cos\theta$；

$\therefore cos(a-\theta) \gt cos\theta，cos(a+\theta) \gt cos\theta$

$\therefore cos(a-\theta) + cos(a-\theta) \gt 2cos\theta \quad ①$

又$\because \cos(a-\theta) + \cos(a+\theta) = 2\cos a\cos\theta \leq 2\cos\theta$，与①矛盾。

所以假设不成立，完成证明。

第三问核心要点

当$\varphi$变化时，函数的最大值随着$\varphi$变化而变化，

要求$b$始终大于等于这个最大值，

求满足条件的$b$的最小值。

简单的说就是：

$\Large \boxed{求所有可能的最大值当中最小的一个}$

$$\begin{aligned} f'(x)&=\big(5\cos x\big)'-\big(\cos(5x+\varphi)\big)' \\ &=-5\sin x-\big[-\sin(5x+\varphi)\cdot 5\big] \\ &=-5\sin x+5\sin(5x+\varphi) \\ &=5\Big[\sin(5x+\varphi)-\sin x\Big] \\ &==10\cos\left(3x+\frac{\varphi}{2}\right)\sin\left(2x+\frac{\varphi}{2}\right) \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad \cos\left(3x_0+\frac{\varphi}{2}\right)=\boldsymbol{0}\\ &\implies 3x_0+\frac{\varphi}{2} = k\pi +\frac{\pi}{2}\quad k\in Z \quad ① \\ & \implies {\Large \boxed{x_0 = \frac{k\pi}{3} +\frac{\pi}{6}-\frac{\varphi}{6} \quad k \in Z}} \quad ② \end{aligned}$$

由①得到$6x_0 + \varphi = (2k + 1)\pi\quad ③$

$$\begin{aligned} &f(x_0)=5\cos(x_0)-cos(5x_0+\varphi) \\ &=5cosx_0 - cos((2k + 1)\pi-x_0) \\ &={\Large \boxed{6cosx_0}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad \sin\left(2x_0+\frac{\varphi}{2}\right)=\boldsymbol{0}\\ &\implies 2x_0+\frac{\varphi}{2} = k\pi\quad k\in Z \quad ① \\ & \implies {\Large \boxed{x_0 = \frac{k\pi}{2} -\frac{\varphi}{4} \quad k \in Z}} \quad ② \end{aligned}$$

由①得到$4x_0 + \varphi = 2k\pi\quad ③$

$$\begin{aligned} &f(x_0)=5\cos(x_0)-cos(5x_0+\varphi) \\ &=5cosx_0 - cos(2k\pi+x_0) \\ &={\Large \boxed{4cosx_0}} \end{aligned}$$

第一部分驻点集合设为：

$\large A=\{x\mid\frac{\pi}{6}-\frac{\varphi}{6}+\frac{k\pi}{3} \quad k \in Z\}$，

相邻两个元素间隔$\large \frac{\pi}{3}$。

关键结论，$\Large \boxed {一定存在 x \in A 满足 -\frac{\pi}{6} \leq x\leq \frac{\pi}{6}}$

这个证明也很简单，用反证法，假定没有$x$满足条件

假设$x_1$为小于$-\frac{\pi}{6}$的最大值，$x_2$为大于$\frac{\pi}{6}$的最小值，那么$x_2 - x_1 \gt \frac{\pi}{6}$，与相邻两个间隔$\frac{\pi}{3}$矛盾

由这个结论可以得出:

极值中的最大的必然是大于等于$6cos(\frac{\pi}{6} ) = 3\sqrt{3}$

理论上证明了最大值必然大于$3\sqrt{3}$

第一问我们已经求得了$\varphi = 0时，最大值就是3\sqrt{3}$，说明能取等。

需要注意：前面都说的是$x_0$是驻点，还必须说明$x_0$在$[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$是极大值点。

因为另外一部分驻点对应的函数值$4cosx_0\leq 4 \lt 3\sqrt{3}$，这一部分驻点不可能是最大值点。

所以，b的最小值就是$3\sqrt{3}$

第三问一个常见误区

题目中要求的$b$，就是求可能的最大值中的最小的那个

下面的推导$\Large \textcolor{red}{哪里错了？}$

$5\cos\varphi$部分最大为5，

$cos(5x+\varphi)$范围为$[-1,1]$,

$\therefore 最大的值的范围为[4,6]$,

并且$当x=0，\varPhi = 0时，f(x)=4$,能取到，

所以$b$的最小值就是$4$

最大值的范围是$[4,6]$是对的。

有点的函数值能取到4，$\large \textcolor{red}{并不能说明该点的函数值是最大值}$。

但是如果有点的函数值是$6$，$\Large \textcolor{red}{就可以说明可能的最大值中最大就是6}$

因为最大值的上限就是$6$，那么这一点必然是最大值，如果有值比它还大，$6$是上限就不成立了。

第三问的一个启发

已得到结论：

要求的$b$是所有可能的最大值当中最小的一个

导函数：$f'(x)= 10\cos\left(3x+\frac{\varphi}{2}\right)\sin\left(2x+\frac{\varphi}{2}\right)$

驻点和对应函数值：

1，$x_0 = \frac{k\pi}{2} -\frac{\varphi}{4} \quad k \in Z$

$f(x_0) = 4cosx_0$

2，$x_0 = \frac{k\pi}{3} +\frac{\pi}{6}-\frac{\varphi}{6} \quad k \in Z$

$f(x_0)=6cosx_0$

$5\cos\varphi$部分最大为5，

$cos(5x+\varphi)$范围为$[-1,1]$,

$\therefore 最大的值的范围为[4,6]$,

$4cosx_0 \leq 4$小于等于可能的最小值，这一部分驻点是不是最大值都不会影响要求的$b$

结论：

$\textcolor{red}{利用初步得到的结论，排除掉不可能的选项}$。

能极大简化题目，并且有$\textcolor{red}{普遍性}$。