（2）给定$\theta\in(0,\pi)$，设$a$为实数，证明：存在$y\in[a-\theta,a+\theta]$，使得$\cos y\leqslant\cos\theta$；

第二问

思路分析

在$[-\pi, \pi]$，比$\cos\theta$大的区间为$(-\theta +\theta)$

考虑到周期性，比$\cos\theta$大的区间为$(2k\pi-\theta 2k\pi+\theta)$

每个周期内比$[a-\theta,a+\theta]$刚好少了两个点，

$[a-\theta,a+\theta]$里的点是没有办法全部塞进去的，必然有点不在$(2k\pi-\theta, 2k\pi+\theta)$内，所以必然存在点$y$满足$\cos y\leqslant\cos\theta$。

证明

使用反证法，假设结论不成立，也就是

$\textcolor{red}{对任意的}y\in[a-\theta,a+\theta]$，$\cos y\textcolor{red}{\gt}\cos\theta$；

$\therefore cos(a-\theta) \gt cos\theta，cos(a+\theta) \gt cos\theta$

$\therefore cos(a-\theta) + cos(a-\theta) \gt 2cos\theta \quad ①$

又$\because \cos(a-\theta) + \cos(a+\theta) = 2\cos a\cos\theta \leq 2\cos\theta$，与①矛盾。

所以假设不成立，完成证明。