（3）若存在$\varphi$使得对任意$x$，都有$5\cos x-\cos(5x+\varphi)\leqslant b$，求$b$的最小值。

第三问的一个启发

已得到结论：

要求的$b$是所有可能的最大值当中最小的一个

导函数：$f'(x)= 10\cos\left(3x+\frac{\varphi}{2}\right)\sin\left(2x+\frac{\varphi}{2}\right)$

驻点和对应函数值：

1，$x_0 = \frac{k\pi}{2} -\frac{\varphi}{4} \quad k \in Z$

$f(x_0) = 4cosx_0$

2，$x_0 = \frac{k\pi}{3} +\frac{\pi}{6}-\frac{\varphi}{6} \quad k \in Z$

$f(x_0)=6cosx_0$

$5\cos\varphi$部分最大为5，

$cos(5x+\varphi)$范围为$[-1,1]$,

$\therefore 最大的值的范围为[4,6]$,

$4cosx_0 \leq 4$小于等于可能的最小值，这一部分驻点是不是最大值都不会影响要求的$b$

结论：

$\textcolor{red}{利用初步得到的结论，排除掉不可能的选项}$。

能极大简化题目，并且有$\textcolor{red}{普遍性}$。