19.（1）设函数$f(x)=5\cos x-\cos5x$，求$f(x)$在$\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]$的最大值；

第一问

思路分析

有极大值点：

• 有驻点，就是导数为0的点。
• 导数是由正转负，就是驻点左边导数值大于0，右边是小于0。

极大值点中最大的点为最大值点。

$$\begin{aligned} f'(x)&=-5\sin x+5\sin5x \\ &=10\cos3x\sin2x \end{aligned}$$

因为$x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$，故$2x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，故$3x\in\left[0,\frac{3\pi}{4}\right]$

只有$x=0时，sin2x = 0$, $x=\frac{\pi}{6}时，cos3x = 0$

驻点为 $\Large \boxed{x=0,x=\frac{\pi}{6}}$

$0 \lt x \lt \frac{pi}{6}时，f'(x) > 0，故不是极大值点$

当$0<x<\frac{\pi}{6}$时，$\cos3x>0)$即$f'(x)>0$，

当$\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{4}$时，$\cos3x<0)$即$f'(x)<0$，

故$(f(x))$在$\left(0,\frac{\pi}{6}\right)$上为增函数，在$\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right)$为减函数，

故$(f(x))$在$\left[0,\frac{\pi}{4}\right]$上的最大值为：

$\large \boxed{f\left(\frac{\pi}{6}\right)=5\cos\frac{\pi}{6}-\cos\frac{5\pi}{6}=3\sqrt{3}}$．