逆袭数学

已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$。

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$，求 $a$ 的取值范围；

（3）设 $n\in \mathbf{N}^{*}$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln(n+1)$。

第一问

第二问思路分析

第三问思路分析

第三问失败的方法

第三问两种构建函数的方法

第一问

当 $a=1$ 时，$f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$，则 $f'(x)=x\mathrm{e}^{x}$，

当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$，当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，

故 $f(x)$ 的减区间为 $(-\infty,0)$，增区间为 $(0,+\infty)$。

第二问思路分析

内容提要：

• 解题的关键点
• $a\leq 0$ 时，初等方法判断满足题目要求
• $a\gt 0$ 时，方法一
• $a\gt 0$ 时，方法二

$(xe^{ax})' = (1+ax)e^{ax}$，

导函数没有变简单，继续求二阶和更高阶导数都不会变简单：

• 要尝试用初等方法判断大小，正负
• 尝试变换一下再求导

令 $h(x)=xe^{ax}-e^x+1$，问题转化成满足: $h(x)\lt 0$

$h(0)=0$

$h'(x)=(1+ax)\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$

$x\gt 0$时：

当 $a=0$ 时，$h'(x)=1-e^x \lt 0$

当 $a\lt 0$时，

$1+ax \lt 1, 0\lt e^{ax} \lt 1 \implies e^{ax}(1+ax)\lt e^{ax} \lt 1$

$又因为e^x \gt 1 \implies h'(x) \lt 0$

$又因为h(0)=0 \implies h(x) \lt 0$

$\large \colorbox{yellow}{\(a\leq 0时满足题目要求\)}$

$h'(0) = 0$

$h''(x)=(2a+a^{2}x)\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$，$h''(0) = 2a-1$

当 $2a-1 \gt 0$时，$h''(0) \gt 0$，存在一个$\delta \gt 0$，使得 $x \in (0, \delta)$ 时 $h''(x) \gt 0$，那么，当 $x\in (0, \delta)$时，

$h''(x) \gt 0 \implies h'(x)严格增，h'(0)=0 \implies h'(x) \gt 0$

$h'(x) \gt 0 \implies h(x)严格增，h(0)=0 \implies h(x) \gt 0$

$\therefore \colorbox{yellow}{\(a\gt \dfrac12时，不满足题目要求\)}$

当 $\colorbox{yellow}{\(0\lt a \leq \dfrac{1}{2}\)}$时, $h''(0)\leq 0$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad h''(x) = (2a+a^{2}x)\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x} \\ &\implies h''(x)\lt (1 + \frac12x)\cdot\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x} \\ &\implies h''(x) \lt e^{\frac{1}{2}x}\mathrm{e}^{ax} -\mathrm{e}^{x} \\ &\implies h''(x) \lt e^{(\frac12 + a)x}-e^{x} \\ &\implies h''(x) \lt 0 \end{aligned}$$

$h''(x) \lt 0 \implies h'(x)严格减，h'(0)=0 \implies h'(x) \lt 0$

$h'(x) \lt 0 \implies h(x)严格减，h(0)=0 \implies h(x) \lt 0$

$\large \colorbox{yellow}{\(0\lt a \leq \dfrac{1}{2}时，满足题目要求\)}$

这里利用了一个结论：$x\gt 0$时，$e^x\gt x+1$，

证明很简单：

令$g(x)=e^x-x-1$，

$g(0) = 0, g'(x)=e^x-1 \gt 0$，

$x\gt 0$时，$g(x)\gt 0，也就是e^x\gt x+1$

$h'(x)=e^x[(1+ax)e^{(a-1)x}-1]$，

令 $g(x)=(1+ax)e^{(a-1)x}-1$, $h'(x)=e^x \cdot g(x)$

$g'(x)=\Big[a(a-1)x + 2a-1\Big]e^{(a-1)x}$

$g'(0)=2a-1，当g'(0) > 0时，h'(0)\gt 0，又因为h(0)=0，\colorbox{yellow}{\(不满足题目要求\)}$

$0\lt a \leq \dfrac{1}{2}时$，$g'(x) \lt (2a-1)e^{(a-1)x} \implies g'(x) \lt 0$

$g'(x)\lt 0 \implies h'(x) \lt 0, h(x)严格单调减$

$又h(0) = 0, h(x)\lt 0，\colorbox{yellow}{\(满足题目要求\)}$

第三问思路分析

要证明的不等式左边是和的形式，最常用的方法就是裂项

如果能证明$\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \gt ln(n+1)-ln(n)$，就可以证明原不等式

$\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \gt ln(1+\dfrac{1}{n})$

令 $t=\dfrac{1}{n}$，转化成：$\frac{t}{\sqrt{(t+1)}} \gt ln(1+t)$

令$h(t) = \frac{t}{\sqrt{(t+1)}} - ln(1+t), h(0)=0$

$h'(t)=\frac{\big(\sqrt{t+1}-1\big)^2}{2(t+1)^{\frac32}}$

$h'(t) \gt 0 \implies h(t)递增，又h(0) = 0，所以 h(t) > 0$

第三问失败的方法

利用 $n(n+1) \lt (n+1)^2$，得到 $\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \gt \frac{1}{n+1}$

利用$x\gt ln(x+1)$ 得到 $\frac{1}{n+1} \gt ln(1+ \frac{1}{n+1})$

$$\begin{aligned} \frac{1}{n+1} &\gt ln(n+2)-ln(n+1) \\ \frac{1}{n} &\gt ln(n+1)-ln(n) \\ &\vdots \\ \frac{1}{2} &\gt ln(3)-ln(2) \end{aligned}$$

最后得到了 $原式 \gt ln(n+2)-ln2$

$ln(n+2)-ln2 \ lt ln(n+1)$

说明是 $\colorbox{yellow}{\(放缩过度\)}$ 了

第三问两种构建函数的方法

为了证明$\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \gt ln(n+1)-ln(n)$

$h(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} -[ ln(n+1)-ln(n)]$

有两种构建函数的方法

1， 令 $x=\frac{1}{n}$, $n=\frac{1}{x}$

$h_1(x)=\dfrac{1}{\sqrt{(\frac{1}{x})^{2}+\frac{1}{x}}}-ln(1+x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}-ln(1+x)$

$h_1 = 0$, $h'(x)=\frac{\big(\sqrt{x+1}-1\big)^2}{2(x+1)^{\frac32}}$

2， 令$x=n$

$h_2(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+x}} -[ ln(x+1)-ln(x)]$

$x\rightarrow +\infty时，h_2(x)=0$

$h_2'(x)=\frac{2\sqrt{x^2+x}-2x-1}{2\left(x^2+x\right)^{\frac32}}$

$(2\sqrt{x^2+x})^2 \lt (2x+1)^2 \implies h_2'(x) \lt 0$