已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$。

（3）设 $n\in \mathbf{N}^{*}$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln(n+1)$。

第三问失败的方法

利用 $n(n+1) \lt (n+1)^2$，得到 $\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \gt \frac{1}{n+1}$

利用$x\gt ln(x+1)$ 得到 $\frac{1}{n+1} \gt ln(1+ \frac{1}{n+1})$

$$\begin{aligned} \frac{1}{n+1} &\gt ln(n+2)-ln(n+1) \\ \frac{1}{n} &\gt ln(n+1)-ln(n) \\ &\vdots \\ \frac{1}{2} &\gt ln(3)-ln(2) \end{aligned}$$

最后得到了 $原式 \gt ln(n+2)-ln2$

$ln(n+2)-ln2 \ lt ln(n+1)$

说明是 $\colorbox{yellow}{\(放缩过度\)}$ 了