已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$。

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$，求 $a$ 的取值范围；

（3）设 $n\in \mathbf{N}^{*}$，证明：$\dfrac{1}{\sqrt{1^{2}+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2^{2}+2}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}>\ln(n+1)$。

第三问两种构建函数的方法

为了证明$\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} \gt ln(n+1)-ln(n)$

$h(n)=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}+n}} -[ ln(n+1)-ln(n)]$

有两种构建函数的方法

1， 令 $x=\frac{1}{n}$, $n=\frac{1}{x}$

$h_1(x)=\dfrac{1}{\sqrt{(\frac{1}{x})^{2}+\frac{1}{x}}}-ln(1+x) = \frac{x}{\sqrt{x+1}}-ln(1+x)$

$h_1 = 0$, $h'(x)=\frac{\big(\sqrt{x+1}-1\big)^2}{2(x+1)^{\frac32}}$

2， 令$x=n$

$h_2(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+x}} -[ ln(x+1)-ln(x)]$

$x\rightarrow +\infty时，h_2(x)=0$

$h_2'(x)=\frac{2\sqrt{x^2+x}-2x-1}{2\left(x^2+x\right)^{\frac32}}$

$(2\sqrt{x^2+x})^2 \lt (2x+1)^2 \implies h_2'(x) \lt 0$