已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$。

（2）当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$，求 $a$ 的取值范围；

第二问思路分析

内容提要：

• 解题的关键点
• $a\leq 0$ 时，初等方法判断满足题目要求
• $a\gt 0$ 时，方法一
• $a\gt 0$ 时，方法二

$(xe^{ax})' = (1+ax)e^{ax}$，

导函数没有变简单，继续求二阶和更高阶导数都不会变简单：

• 要尝试用初等方法判断大小，正负
• 尝试变换一下再求导

令 $h(x)=xe^{ax}-e^x+1$，问题转化成满足: $h(x)\lt 0$

$h(0)=0$

$h'(x)=(1+ax)\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$

$x\gt 0$时：

当 $a=0$ 时，$h'(x)=1-e^x \lt 0$

当 $a\lt 0$时，

$1+ax \lt 1, 0\lt e^{ax} \lt 1 \implies e^{ax}(1+ax)\lt e^{ax} \lt 1$

$又因为e^x \gt 1 \implies h'(x) \lt 0$

$又因为h(0)=0 \implies h(x) \lt 0$

$\large \colorbox{yellow}{\(a\leq 0时满足题目要求\)}$

$h'(0) = 0$

$h''(x)=(2a+a^{2}x)\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$，$h''(0) = 2a-1$

当 $2a-1 \gt 0$时，$h''(0) \gt 0$，存在一个$\delta \gt 0$，使得 $x \in (0, \delta)$ 时 $h''(x) \gt 0$，那么，当 $x\in (0, \delta)$时，

$h''(x) \gt 0 \implies h'(x)严格增，h'(0)=0 \implies h'(x) \gt 0$

$h'(x) \gt 0 \implies h(x)严格增，h(0)=0 \implies h(x) \gt 0$

$\therefore \colorbox{yellow}{\(a\gt \dfrac12时，不满足题目要求\)}$

当 $\colorbox{yellow}{\(0\lt a \leq \dfrac{1}{2}\)}$时, $h''(0)\leq 0$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad h''(x) = (2a+a^{2}x)\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x} \\ &\implies h''(x)\lt (1 + \frac12x)\cdot\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x} \\ &\implies h''(x) \lt e^{\frac{1}{2}x}\mathrm{e}^{ax} -\mathrm{e}^{x} \\ &\implies h''(x) \lt e^{(\frac12 + a)x}-e^{x} \\ &\implies h''(x) \lt 0 \end{aligned}$$

$h''(x) \lt 0 \implies h'(x)严格减，h'(0)=0 \implies h'(x) \lt 0$

$h'(x) \lt 0 \implies h(x)严格减，h(0)=0 \implies h(x) \lt 0$

$\large \colorbox{yellow}{\(0\lt a \leq \dfrac{1}{2}时，满足题目要求\)}$

这里利用了一个结论：$x\gt 0$时，$e^x\gt x+1$，

证明很简单：

令$g(x)=e^x-x-1$，

$g(0) = 0, g'(x)=e^x-1 \gt 0$，

$x\gt 0$时，$g(x)\gt 0，也就是e^x\gt x+1$

$h'(x)=e^x[(1+ax)e^{(a-1)x}-1]$，

令 $g(x)=(1+ax)e^{(a-1)x}-1$, $h'(x)=e^x \cdot g(x)$

$g'(x)=\Big[a(a-1)x + 2a-1\Big]e^{(a-1)x}$

$g'(0)=2a-1，当g'(0) > 0时，h'(0)\gt 0，又因为h(0)=0，\colorbox{yellow}{\(不满足题目要求\)}$

$0\lt a \leq \dfrac{1}{2}时$，$g'(x) \lt (2a-1)e^{(a-1)x} \implies g'(x) \lt 0$

$g'(x)\lt 0 \implies h'(x) \lt 0, h(x)严格单调减$

$又h(0) = 0, h(x)\lt 0，\colorbox{yellow}{\(满足题目要求\)}$