已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^{x}$。

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性；

第一问

当 $a=1$ 时，$f(x)=(x-1)\mathrm{e}^{x}$，则 $f'(x)=x\mathrm{e}^{x}$，

当 $x<0$ 时，$f'(x)<0$，当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，

故 $f(x)$ 的减区间为 $(-\infty,0)$，增区间为 $(0,+\infty)$。