小明读一本书，第一天读了全书的$\frac{1}{6}$多$10$页，第二天读了第一天的$\frac{7}{8}$少$10$页，还剩余$280$页。
$(1)$ 如果第一天读了$x$页，那么全书有多少页？用含$x$的代数式表示。
$(2)$ 全书共有多少页？
答案：
$(1)$ $6(x-10)$
$(2)$ 420
详解：
$(1)$，设全书共$y$页，由题意得：
$$ x = \frac{1}{6}y+10 $$
解关于$y$的方程得：$6(x-10)$。 答：全书有$6(x-10)$页。
$(2)$ 设全书有$x$页，列方程：
$$ \frac{1}{6}x + 10 + \frac{7}{8}(\frac{1}{6}x+10)-10+280=x $$
解方程得$x=420$
答：全书有420页。
《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 $1$ 尺，那么木头长 ________ 尺。
【答案】6.5
【详解】解：设木头长 $x$ 尺，则绳子长 $(x + 4.5)$ 尺，
根据题意得：
$$
x - \frac{1}{2}(x + 4.5) = 1,
$$
解得 $x = 6.5$，
答：木头长 6.5 尺。
《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（ ）
甲：设人数为 $x$ 人，可列方程 $5x + 45 = 7x + 3$，
乙：设羊价为 $y$ 元，可列方程为 $\frac{y + 45}{5} = \frac{y + 3}{7}$．
A．只有甲对
B．只有乙对
C．甲、乙都对
D．甲、乙都错
【答案】A
【详解】设人数为 $x$ 人，可列方程 $5x + 45 = 7x + 3$，
如果设单价为 $y$ 元，可列方程 $\frac{y - 45}{5} = \frac{y - 3}{7}$，
则甲对，乙错．
故选：A．
某商人一次卖出两件商品，一件赚了 20%，一件赔了 20%，卖价都是 480 元，在这次买卖过程中，商人（ ）
A. 赚了 40 元
B. 赔了 40 元
C. 赔了 100 元
D. 不赚不赔
【答案】B
设赚了 20% 的商品进价为 $ a $ 元，
则
$$
a(1 + 0.2) = 480
$$
解得：
$$
a = 400
$$
设赔了 20% 的商品进价为 $ b $ 元，
则
$$
b(1 - 0.2) = 480
$$
解得：
$$
b = 600
$$
总成本为：
$$
a + b = 400 + 600 = 1000 \text{ 元}
$$
总收入为：
$$
480 \times 2 = 960 \text{ 元}
$$
利润为：
$$
960 - 1000 = -40 \text{ 元}
$$
即这次买卖过程中，商人赔了 40 元，
故选：B
小明同学到某商店购买商品，了解到甲、乙两种商品的信息如下：
- 信息 1：甲、乙两种商品的进货单价之和为 20 元；
- 信息 2：甲商品的零售单价比进货单价多 3 元，乙商品的零售单价比进货单价多 50%；
- 信息 3：按零售价买 8 件甲商品和 10 件乙商品，共付 240 元。
请根据以上信息，求：
(1) 甲、乙两种商品的销售单价；
(2) 商店在这次销售中获得的总利润。
【答案】
(1) 甲、乙两种商品的销售单价分别为 15 元和 12 元。
(2) 商店在这次销售中获得的总利润为 64 元。
【详解】
(1) 解：设甲商品的进货单价为 $ x $ 元，
∵ 甲、乙两种商品的进货单价之和 20 元，
∴ 乙商品的进货单价为 $ (20 - x) $ 元，
∵ 甲商品的零售单价比进货单价多 3 元，
∴ 甲商品的零售单价为 $ (x + 3) $ 元，
∵ 乙商品的零售单价比进货单价多 50%，
∴ 乙商品的零售单价为 $ (1 + 0.5)(20 - x) $，
∵ 按零售价买 8 件甲商品和 10 件乙商品，共付 240 元，
∴ $ 8(x + 3) + 10(1 + 0.5)(20 - x) = 240 $。
解得：$ x = 12 $。
经检验：$ x = 12 $ 符合题意，
∴ 甲商品的零售单价为 $ x + 3 = 15 $ 元，乙商品的零售单价为 $ (1 + 0.5)(20 - x) = 12 $ 元，
答：甲、乙两种商品的销售单价分别为 15 元和 12 元；
(2) 解：∵ 甲商品的零售单价比进货单价多 3 元，乙商品的零售单价比进货单价多 50%，且甲、乙两种商品的进货单价之和 20 元，
∴ 甲商品的每件利润为 3 元，乙商品的每件利润为 $ (20 - 12)(1 + 0.5) - (20 - 12) = 4 $ 元，
∴ 商店在这次销售中获得的总利润为 $ 8 \times 3 + 10 \times 4 = 64 $ 元，
答：商店在这次销售中获得的总利润为 64 元。
当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体。某公司计划购买 50 个羽毛球拍和 $ x $ 个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价 80 元，每个羽毛球定价 5 元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）：
- 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送 2 个羽毛球；
- 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的 90% 付款。
(1) 若 $ x = 100 $，请计算哪种方案划算；
(2) 若 $ x > 100 $，请用含 $ x $ 的代数式分别把两种方案的费用表示出来；
(3) 请你帮助公司写出 $ x $ 取值不同时的所有划算的购买方案。
【答案】(1)方案一划算
(2)方案一、方案二的费用用代数式分别表示为 $(5x+3500)$ 元，$(4.5x+3600)$ 元
(3)当 $0 < x \leq 88$ 时，方案二划算；当 $89 \leq x < 200$ 时，方案一划算；当 $x = 200$ 时，方案一和方案二一样划算；当 $x > 200$ 时，方案二划算
【详解】
(1) 解：当 $x = 100$ 时，
方案一：$80 \times 50 = 4000$（元）．
方案二：$80 \times 50 \times 0.9 + 5 \times 100 \times 0.9 = 4050$（元）．
因为 $4000 < 4050$，
所以当 $x = 100$ 时，方案一划算．
答：若 $x = 100$，方案一划算．
(2) 解：当 $x > 100$ 时，
方案一：$80 \times 50 + (x - 100) \times 5 = (5x + 3500)$ 元．
方案二：$80 \times 50 \times 0.9 + 5x \times 0.9 = (4.5x + 3600)$ 元．
答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为 $(5x+3500)$ 元，$(4.5x+3600)$ 元．
(3) 解：若方案一和方案二的费用相等，
当 $x \leq 100$ 时，方案一不需要单独购买羽毛球，可得
$$
50 \times 80 = (50 \times 80 + 5x) \times 0.9,
$$
解得 $x = \frac{800}{9}$．
因为 $88 < \frac{800}{9} < 89$，
所以，当 $0 < x \leq 88$ 时，方案二划算；当 $89 \leq x \leq 100$ 时，方案一划算；
当 $x > 100$ 时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得
$$
50 \times 80 + 5(x - 100) = (50 \times 80 + 5x) \times 0.9,
$$
解得 $x = 200$．
所以，当 $100 < x < 200$ 时，方案一划算；当 $x = 200$ 时，方案一和方案二一样划算；当 $x > 200$ 时，方案二划算．
综上可知，当 $0 < x \leq 88$ 时，方案二划算；当 $89 \leq x < 200$ 时，方案一划算；当 $x = 200$ 时，方案一和方案二一样划算；当 $x > 200$ 时，方案二划算．
在去年的“6.18”促销活动中，某网店需要 $ x $ 个包装箱。甲、乙两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价：
| 甲工厂 | 单价 1.5 元/个，如果达到或超过 1 万个，全部打八折。 |
|---|---|
| 乙工厂 | 5000 个内（含 5000 个）的单价为 1.5 元/个，超过 5000 个的部分，单价为 1 元/个。 |
(1) 如果你是网店负责人，需要 12000 个包装箱时，从节省费用角度，你认为由谁单独承包合适？请说明理由。
(2) 当 $ x $ 为何值时，甲乙工厂的收费相同？
【答案】(1)甲工厂单独承包合适，理由见解析
(2)当 $ x \leq 5000 $ 或 $ x = 12500 $ 时，甲乙工厂的收费相同
【详解】(1) 解：甲工厂单独承包合适，理由如下：
甲工厂费用：
$$
12000 \times 1.5 \times 0.8 = 18000 \times 0.8 = 14400 \text{（元）}
$$
乙工厂费用：
$$
5000 \times 1.5 + (12000 - 5000) \times 1 = 7500 + 7000 = 14500 \text{（元）}
$$
$\because 14400 < 14500 $
$\therefore \text{甲工厂单独承包合适}$
(2) 解：根据题意可知，当 $ x \leq 5000 $ 时，两个工厂的单价均为 1.5 元/个，即此时甲乙工厂的收费相同；
当 $ 5000 < x < 10000 $ 时，超过 5000 的部分，甲工厂单价便宜，此时不可能两个工厂收费相同；
当 $ x \geq 10000 $ 时，依题意有：
$$
1.5 \times 0.8 \times x = 5000 \times 1.5 + (x - 5000)
$$
解得 $ x = 12500 $。
$$ \therefore \text{当 } x \leq 5000 \text{ 或 } x = 12500 \text{ 时，甲乙工厂的收费相同。} $$
为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的方式达到节水目的。该市自来水收费价格见价目表：
价目表（注：水费按月结算）
| 每月用水量 | 单价 |
|---|---|
| 不超出 $6,\text{m}^3$ 的部分 | $2,\text{元}/\text{m}^3$ |
| 超出 $6,\text{m}^3$ 但不超出 $10,\text{m}^3$ 的部分 | $4,\text{元}/\text{m}^3$ |
| 超出 $10,\text{m}^3$ 的部分 | $8,\text{元}/\text{m}^3$ |
若某户居民 1 月份用水 $9.5,\text{m}^3$，则应收水费：
$$
2 \times 6 + 4 \times (9.5 - 6) = 26 , (\text{元})。
$$
(1) 已知该户居民 2 月份用水 $14,\text{m}^3$，则应交水费 ______ 元；
(2) 已知该户居民 3 月份交水费 48 元，若设该户居民 3 月份用水 $x,\text{m}^3$，求 $x$ 的值；
(3) 若该户居民 4、5 月份共用水 $20,\text{m}^3$（5 月份的用水量超过 4 月份的用水量），共交水费 64 元，则该户居民 4、5 月份各用水多少立方米？
(1) 60
(2) 12.5
(3) 该户居民 4 月份用水 $8 , \text{m}^3$，5 月份用水 $12 , \text{m}^3$
(1) 解：$\because 14 , \text{m}^3 > 10 , \text{m}^3$，
$\therefore$ 2 月份应交水费为：
$$
2 \times 6 + 4 \times (10 - 6) + 8 \times (14 - 10) = 60 , (\text{元})。
$$
(2) $\because 2 \times 6 = 12 , (\text{元})$，
$$
2 \times 6 + 4 \times (10 - 6) = 28 , (\text{元})，\quad 48 > 28，
$$
$\therefore$ 该户居民 3 月份用水 $x , \text{m}^3 > 10 , \text{m}^3$，
$$
\therefore 2 \times 6 + 4 \times (10 - 6) + 8 \times (x - 10) = 48，
$$
整理得：
$$
28 + 8x - 80 = 48，
$$
解得：$x = 12.5$，
答：$x$ 的值为 12.5；
(3) 解：设 4 月份水量为 $y$，则 5 月份为 $(20 - y)$，
由题意 $0 < y < 10$，
当 $0 < y \leq 6$ 时，
$$
2y + 12 + 16 + 8(20 - y - 10) = 64，
$$
解得：$y = \frac{22}{3}$（舍去），
当 $6 < y < 10$ 时，
$$
12 + 4(y - 6) + 12 + 16 + 8(20 - y - 10) = 64，
$$
解得：$y = 8$，
则 $20 - 8 = 12 , (\text{m}^3)$，
答：3 月份用水 $8 , \text{m}^3$，4 月份用水 $12 , \text{m}^3$。
如图，点 $ M $、$ N $ 均在数轴上，点 $ M $ 所对应的数是 $-3$，点 $ N $ 在点 $ M $ 的右边，且距 $ M $ 点 4 个单位长度，点 $ P $、$ Q $ 是数轴上的两个动点。
(1) 点 $ N $ 所对应的数 ______。
(2) 当点 $ P $ 到点 $ M $、$ N $ 的距离之和是 5 个单位长度时，此时点 $ P $ 所对应的数为 ______。
(3) 当点 $ P $ 到点 $ M $、$ N $ 的距离之和最小时，此时的最小值为 ______。
(4) 若点 $ P $、$ Q $ 分别从点 $ M $、$ N $ 出发，均沿数轴向左运动，点 $ P $ 每秒运动 2 个单位长度，点 $ Q $ 每秒运动 3 个单位长度。若点 $ P $ 先出发 5 秒后，点 $ Q $ 出发，当 $ P $、$ Q $ 两点相距 2 个单位长度时，直接写出此时点 $ P $、$ Q $ 分别对应的数 ______。
【答案】(1), 1
(2), -3.5或1.5
(3), 4
(4), -37,-35或-45,-47
【详解】(1), 解：根据题意可得，$4 + (-3) = 1$，
故答案为：$1$；
(2), 解：设点 $P$ 表示的数为 $p$，
当点 $P$ 在点 $M$、$N$ 中间时，$PM + PN = 4 < 5$，不符合题意；
当点 $P$ 在点 $M$ 左边时，$PM = -3 - p$，$PN = 1 - p$，
$\therefore PM + PN = -3 - p + (1 - p) = 5$，
解得，$p = -3.5$；
当点 $P$ 在点 $N$ 的右边时，$PM = p - (-3) = p + 3$，$PN = p - 1$，
$\therefore PM + PN = p + 3 + (p - 1) = 5$，
解得，$p = 1.5$；
故答案为：$-3.5$ 或 $1.5$；
(3), 解：根据（2）中的计算方法可得，当点 $ P $ 到点 $ M $、$ N $ 的距离之和最小，此时最小值为 4，
故答案为：4；
(4), 解：点 $ P $、$ Q $ 分别从点 $ M $、$ N $ 出发，均沿数轴向左运动，点 $ P $ 每秒运动 2 个单位长度，点 $ Q $ 每秒运动 3 个单位长度。
点 $ P $ 出发 5 秒时对应的数为：$ -3 - 2 \times 5 = -13 $，
设此时 $ P $、$ Q $ 运动时间为 $ t $ 秒，
∴ $ t $ 秒时点 $ P $ 对应的数为：$ -13 - 2t $，点 $ Q $ 对应的数为：$ 1 - 3t $，
当点 $ P $ 在点 $ Q $ 左边时，
$$
1 - 3t - (-13 - 2t) = 2
$$
解得，$ t = 12 $，
∴ 此时，点 $ P $ 对应的数为：$ -13 - 2t = -13 - 2 \times 12 = -37 $，
点 $ Q $ 对应的数为：$ 1 - 3t = 1 - 3 \times 12 = -35 $；
当点 $ P $ 在点 $ Q $ 右边时，
$$
-13 - 2t - (1 - 3t) = 2
$$
解得，$ t = 16 $，
∴ 此时，点 $ P $ 对应的数为：$ -13 - 2t = -13 - 2 \times 16 = -45 $，
点 $ Q $ 对应的数为：$ 1 - 3t = 1 - 3 \times 16 = -47 $；
综上所述，点 $ P $、$ Q $ 分别对应的数为 $ -37, -35 $ 或 $ -45, -47 $。
故答案为：$ -37, -35 $ 或 $ -45, -47 $。