逆袭数学

对于一个函数$f(x)$和一个点$M(a,b)$，令$s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2$，若$P\left(x_0,f(x_0)\right)$是$s(x)$取到最小值的点，则称$P$是$M$在$f(x)$的“最近点”。

（1）对于$f(x)=\dfrac{1}{x}(x>0)$，求证：对于点$M(0,0)$，存在点$P$，使得点$P$是$M$在$f(x)$的“最近点”；

（2）对于$f(x)=\mathrm{e}^x$，$M(1,0)$，请判断是否存在一个点$P$，它是$M$在$f(x)$的“最近点”，且直线$MP$与$y=f(x)$在点$P$处的切线垂直；

（3）已知$y=f(x)$在定义域$\mathbf{\mathbf{R}}$上存在导函数$f'(x)$，且函数$g(x)$在定义域$\mathbf{\mathbf{R}}$上恒正，设点$M_1\left(t-1,f(t)-g(t)\right)$，$M_2\left(t+1,f(t)+g(t)\right)$。若对任意的$t\in\mathbf{\mathbf{R}}$，存在点$P$同时是$M_1,M_2$在$f(x)$的“最近点”，试判断$f(x)$的单调性。

第一问

第二问

第三问思路分析

第一问

思路分析

新定义理解：

• 相关的对象：是一个点 $(a,b)$ 和一个函数$f(x)$
• 构建的一个新函数 $s(x)$ ，表示函数上的点 $(x,f(x))$ 到 $(a,b)$的距离平方
• 如果 $s(x) $在 $x_0$ 处有最小值，$(x_0,f(x_0))$就是最近点 $P$

详解

$\large s(x) = (x-0)^2 + (\frac{1}{x}-0)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2}$；

根据基本不等式，$x=1时取得最小值$；

$\large \colorbox{yellow}{\(点(1,1)是最近点\)}$

第二问

内容提要：

1. 计算 $s(x) 和 s'(x)$，求出最近点
2. 判断垂直

$s(x)=(x-1)^2 + e^{2x}$;

$s'(x)=2(x-1)+2e^{2x}$;

可以观察出：$s'(0)=0$；

并且 $2(x-1)$ 和 $2e^{2x}$ 都是严格增函数，所以 $s'(x)$ 也是严格增函数；

$\therefore 当x\lt 0时s'(x) \lt 0, x\gt 0时s'(x) \gt 0$；

$\therefore x=0时，s(x)取得最小值$；

$\large \colorbox{yellow}{\(P=(0,1)\)}$

MP的斜率为：$\dfrac{0-1}{1-0}=-1$；

$f'(x)=e^x\implies f'(0)=1\implies切线斜率为1$；

$\large \colorbox{yellow}{\(直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直\)}$

第三问思路分析

破局的关键点：

设 $M_t = (t, f(t))$，很显然这个点在函数图像上。

观察出 $M_t$ 是 $M_1$ 和 $M_2$的中点；

进而得出结论：$\large \colorbox{yellow}{\(最近点只能是：M_t\)}$；

可以用反证法证明：

设最近点为 $P$，有 $PM_1 \leq M_tM_1,PM_2\leq M_tM_2$

两个相加得到：$PM_1 + PM_2 \leq M_1M_2$，

和三角形两边之和大于第三边矛盾

$s_1(x) = (x-t+1)^2 + [f(x)-f(t)+g(t)]^2;$

$s_1'(x) = 2(x-t+1) + 2[f(x)-f(t)+g(t)]\colorbox{yellow}{\(f'(x)\)};$

$\because (t, f(t))$是最近点，$\therefore s_1'(t)=0$;

$2+2g(t)f'(t)=0 \implies f'(t)=-\frac{1}{g(t)}$

$\because g(t)恒大于0$

$\therefore \colorbox{yellow}{\(f'(t)\lt 0 \implies f(x)严格减\)}$