对于一个函数$f(x)$和一个点$M(a,b)$，令$s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2$，若$P\left(x_0,f(x_0)\right)$是$s(x)$取到最小值的点，则称$P$是$M$在$f(x)$的“最近点”。

（2）对于$f(x)=\mathrm{e}^x$，$M(1,0)$，请判断是否存在一个点$P$，它是$M$在$f(x)$的“最近点”，且直线$MP$与$y=f(x)$在点$P$处的切线垂直；

第二问

内容提要：

1. 计算 $s(x) 和 s'(x)$，求出最近点
2. 判断垂直

$s(x)=(x-1)^2 + e^{2x}$;

$s'(x)=2(x-1)+2e^{2x}$;

可以观察出：$s'(0)=0$；

并且 $2(x-1)$ 和 $2e^{2x}$ 都是严格增函数，所以 $s'(x)$ 也是严格增函数；

$\therefore 当x\lt 0时s'(x) \lt 0, x\gt 0时s'(x) \gt 0$；

$\therefore x=0时，s(x)取得最小值$；

$\large \colorbox{yellow}{\(P=(0,1)\)}$

MP的斜率为：$\dfrac{0-1}{1-0}=-1$；

$f'(x)=e^x\implies f'(0)=1\implies切线斜率为1$；

$\large \colorbox{yellow}{\(直线MP与y=f(x)在点P处的切线垂直\)}$