对于一个函数$f(x)$和一个点$M(a,b)$，令$s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2$，若$P\left(x_0,f(x_0)\right)$是$s(x)$取到最小值的点，则称$P$是$M$在$f(x)$的“最近点”。

（1）对于$f(x)=\dfrac{1}{x}(x>0)$，求证：对于点$M(0,0)$，存在点$P$，使得点$P$是$M$在$f(x)$的“最近点”；

第一问

思路分析

新定义理解：

• 相关的对象：是一个点 $(a,b)$ 和一个函数$f(x)$
• 构建的一个新函数 $s(x)$ ，表示函数上的点 $(x,f(x))$ 到 $(a,b)$的距离平方
• 如果 $s(x) $在 $x_0$ 处有最小值，$(x_0,f(x_0))$就是最近点 $P$

详解

$\large s(x) = (x-0)^2 + (\frac{1}{x}-0)^2 = x^2 + \frac{1}{x^2}$；

根据基本不等式，$x=1时取得最小值$；

$\large \colorbox{yellow}{\(点(1,1)是最近点\)}$