对于一个函数$f(x)$和一个点$M(a,b)$，令$s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2$，若$P\left(x_0,f(x_0)\right)$是$s(x)$取到最小值的点，则称$P$是$M$在$f(x)$的“最近点”。

（3）已知$y=f(x)$在定义域$\mathbf{\mathbf{R}}$上存在导函数$f'(x)$，且函数$g(x)$在定义域$\mathbf{\mathbf{R}}$上恒正，设点$M_1\left(t-1,f(t)-g(t)\right)$，$M_2\left(t+1,f(t)+g(t)\right)$。若对任意的$t\in\mathbf{\mathbf{R}}$，存在点$P$同时是$M_1,M_2$在$f(x)$的“最近点”，试判断$f(x)$的单调性。

第三问思路分析

破局的关键点：

设 $M_t = (t, f(t))$，很显然这个点在函数图像上。

观察出 $M_t$ 是 $M_1$ 和 $M_2$的中点；

进而得出结论：$\large \colorbox{yellow}{\(最近点只能是：M_t\)}$；

可以用反证法证明：

设最近点为 $P$，有 $PM_1 \leq M_tM_1,PM_2\leq M_tM_2$

两个相加得到：$PM_1 + PM_2 \leq M_1M_2$，

和三角形两边之和大于第三边矛盾

$s_1(x) = (x-t+1)^2 + [f(x)-f(t)+g(t)]^2;$

$s_1'(x) = 2(x-t+1) + 2[f(x)-f(t)+g(t)]\colorbox{yellow}{\(f'(x)\)};$

$\because (t, f(t))$是最近点，$\therefore s_1'(t)=0$;

$2+2g(t)f'(t)=0 \implies f'(t)=-\frac{1}{g(t)}$

$\because g(t)恒大于0$

$\therefore \colorbox{yellow}{\(f'(t)\lt 0 \implies f(x)严格减\)}$