绝对值

定义

一个数 $a$ 的绝对值记作记作 $\vert a \rvert$ ，读作“绝对值 $a$ ”或“ $a$ 的绝对值”。

代数定义： $0$ 和正数（非负数）的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（一个正数）。即：

\vert a\rvert= \begin{cases} a, & \text{当} a \geq 0 \\\\ -a, & \text{当 } a < 0 \end{cases}

几何定义：数 $a$ 在数轴上所对应的点到原点的距离叫作数 $a$ 的绝对值。

例1：

$\vert 0\rvert= 0$ ， $\vert - 3\rvert$ = $\vert 3\rvert = 3$

$\vert 5-2x\rvert = \vert 2x-5 \rvert$

$\vert a-b\rvert$ = $\vert b-a\rvert$

例2, 根据定义，把 $a$ 换成 $x+1$ ：

\vert x + 1\rvert= \begin{cases} (x+1), & \text{当} x+1 \geq 0 \text即x \geq -1 \\\\ -(x+1), & \text{当 } x+1 < 0 \text即x < -1 \end{cases}

例3, 根据定义，把 $a$ 换成 $a+b+c$ ：

\vert a+b+c\rvert= \begin{cases} (a+b+c), & \text{当} a+b+c \geq 0 \\\\ -(a+b+c), & \text{当 } a+b+c < 0 \end{cases}

\vert a+b\rvert= \begin{cases} \vert a\rvert + \vert b\rvert, & \text{当} ab \geq 0 \\ \left | \vert a\rvert - \vert b\rvert \right |, & \text{当 } ab < 0 \end{cases}

差的绝对值： $\vert a-b\rvert=\vert a+(-b)\rvert$
积的绝对值： $\vert ab\rvert = \vert a \rvert \vert b \rvert$
商的绝对值： $\vert \frac{a}{b}\rvert = \frac{\vert a \rvert}{\vert b \rvert}(b \neq 0)$

处理含有绝对值符号的代数式，需要判断绝对值内部的代数式的符号。

基本步骤：

例题：化简 $\vert 2x-5 \rvert + \vert x+3\rvert$

零点： $\frac{5}{2}$ ， $-3$ 。
区间： $x \geq \frac{5}{2}$ ， $-3 \leq x < \frac{5}{2}$ ，$ x < -3$
化简：
- 当 $x \geq \frac{5}{2}$ 时：原式 $=2x-5+x+3=3x-2$
- 当 $-3 \leq x < \frac{5}{2}$ 时：原式 $=-(2x-5)+(x+3)=8-x$
- 当$ x < -3 $时：原式$ =-(2x-5)-(x+3) = 2-3x$

几何意义是理解和解决许多问题的利器，特别是最值问题。

$\vert a-b\rvert$ 表示数轴上 $a$ 到 $b$ 的距离。

可以从代数定义直接推导得出：

\vert a-b\rvert= \begin{cases} a-b, & \text{当} a \geq b \\\\ -(a-b)\text即b-a, & \text{当 } a < b \end{cases}

意思就是 $\vert a-b\rvert$ 等于右边的点减去左边的点，即两点之间的距离。

例1, $\vert x+1 \rvert$ = $\vert x - (-1) \rvert$ , 所以 $\vert x+1 \rvert$ 表示 $x$ 到 $-1$ 的距离。

例2, $\vert a+b-c \rvert$ 可以看成下面三个意思：