逆袭数学

（1）证明：当 $0<x<1$ 时，$x-x^2<\sin x<x$；

（2）已知函数 $f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)$，若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围。

第一问

第二问思路分析

第一问

先证明 $sinx \lt x$

令 $h_1(x) = x-sinx$

$\colorbox{yellow}{\(h_1(0) = 0\)}$

$h_1'(x)= 1-cosx$，

当 $0<x<1$ 时，$h'(x) \gt 0 \implies h_1(x) \gt 0$

$\therefore \colorbox{yellow}{\(sinx\lt x\)}$

再证明 $x-x^2 \lt sinx$

令 $h_2(x) = sinx - x + x^2$

$\colorbox{yellow}{\(h_2(0) = 0\)}$

$h_2'(x)= cosx - 1 + 2x$，

$\colorbox{yellow}{\(h_2'(0) = 0\)}$

$h_2''(x)= 2-sinx$，

当 $0<x<1$ 时，$h_2''(x) \gt 0 \implies h_2'(x)严格单调增 \implies h_2'(x) \gt 0$

$h_2'(x) \gt 0 \implies h_2(x)严格单调增 \implies h_2(x) \gt 0$

$\therefore \colorbox{yellow}{\(x-x^2\lt sinx\)}$

第二问思路分析

$x=0$ 是极大值点，$f'(x)=0$ 并且 $x<0$时递增，$x>0$时递减

计算导数：

$$\begin{aligned} f'(x)&= -a\sin(ax) - \frac{-2x}{1-x^2} \\ &= \boldsymbol{-a\sin(ax)+\frac{2x}{1-x^2}} \end{aligned}$$

$f'(0)=0$，满足了导数为$0$

计算二阶导数：

$$\begin{aligned} f''(x)&=-a\cdot a\cos(ax)+\frac{2(1-x^2)-2x(-2x)}{(1-x^2)^2}\\ &=-a^2\cos(ax)+\frac{2-2x^2+4x^2}{(1-x^2)^2}\\ &=\boldsymbol{-a^2\cos(ax)+\frac{2+2x^2}{(1-x^2)^2}} \end{aligned}$$

$f''(0) = 2-a^2$

当$\colorbox{yellow}{\(2-a^2 \gt 0\)}$时，

存在一个$\delta \gt 0$，$x\in (-\delta, +\delta)$时递增

$\colorbox{yellow}{\(过驻点时，导数由负转正，先递减后递增不满足题目要求\)}$

当$\colorbox{yellow}{\(2-a^2 \lt 0\)}$时，

存在一个$\delta \gt 0$，$x\in (-\delta, +\delta)$时递减

$\colorbox{yellow}{\(过驻点时，导数由正转负，先递增后递减满足题目要求\)}$

当$\colorbox{yellow}{\(2-a^2 = 0\)}$时，单凭这一点的导数值无法确定。

当 $a=\pm\sqrt{2}, 0\lt x \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，

$$\begin{aligned} &\qquad \quad f'(x)=-\sqrt{2}\colorbox{yellow}{\(sin(\sqrt{2}x)\)}+\frac{2x}{1-x^2} \\ &\implies f'(x) \gt -\sqrt{2}\cdot \colorbox{yellow}{\(\sqrt{2}x\)} +\frac{2x}{1-x^2} \\ &\implies f'(x) \gt 2x(\frac{1}{1-x^2}-1) \\ &\implies f'(x) \gt 0 \end{aligned}$$

$\colorbox{yellow}{\(a=\pm\sqrt{2}时，不满足题目要求\)}$