逆袭数学

已知曲线 $f(x)=\ln x$，取点$(a_1,f(a_1))$过其作曲线 $y=f(x)$ 的切线，交 $y$ 轴于点$(0,a_2)$，取点$(a_2,f(a_2))$过其作 $y=f(x)$ 的切线，交 $y$ 轴于点$(0,a_3)$，若 $a_3<0$ 则停止，以此类推，得到数列$\{a_n\}$。

（1）若正整数 $m\ge 2$，证明 $a_m=\ln a_{m-1}-1$；

（2）若正整数 $m\ge 2$，试比较 $a_m$ 与 $a_{m-1}-2$ 的大小；

（3）若正整数 $k\ge 3$，是否存在 $k$，使得 $a_1,a_2,\dots,a_k$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值，若不存在，试说明理由。

第一问

第二问

第三问思路分析

第一问

思路分析

过点 $(a_{m-1}, f(a_{m-1}))$ 做切线，切线与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $a_m$

详解

$f(a_{m-1})=lna_{m-1}$

$f'(x)=\frac{1}{x} \implies f'(a_{m-1})=\frac{1}{a_{m-1}}$

切线方程为：$y-lna_{m-1}=\frac{1}{a_{m-1}}(x-a_{m-1})$

$x=0时，y=lna_{m-1}-1$

$\large \therefore \colorbox{yellow}{\(a_m=\ln a_{m-1}-1\)}$

第二问

思路分析

比较 $a_m$ 与 $a_{m-1}-2$ 的大小，相减以后和 $0$ 比较

$h(a_{m-1})=lna_{m-1}-1-(a_{m-1}-2)=lna_{m-1}-a_{m-1}+1$

观察出 $h(1)=0$

求导数考察单调性 $h'(a_{m-1})$

令 $h(a_{m-1})=a_m-(a_{m-1}-2)$,

则 $h(a_{m-1})=lna_{m-1}-a_{m-1}+1$

$h(1)=ln1-1+1 = 0$

$h'(a_{m-1}) = \frac{1}{a_{m-1}} - 1$

当 $0\lt a_{m-1} \lt 1$ 时，$h'(a_{m-1}) > 0$，函数严格增

当 $a_{m-1} \gt 1$ 时，$h'(a_{m-1}) < 0$，函数严格减

$\therefore h(1)为最大值$

$\therefore a_m \leq a_{m-1}-2$

第三问思路分析

构造 $h(a_{m-1})=a_m-a_{m-1}$

$h(a_{m-1}) = lna_{m-1}-1 - a_{m-1}$

$h'(a_{m-1})=\frac{1}{a_{m-1}}-1$

当 $0\lt a_{m-1} \lt 1$ 时，$h'(a_{m-1}) > 0$，函数严格增

当 $a_{m-1} \gt 1$ 时，$h'(a_{m-1}) < 0$，函数严格减

关键结论，$\large \colorbox{yellow}{\(不可能有三个数a_i\quad a_{i+1} \quad a_{i+2}满足h(a_{i})=h(a_{i+1})=h(a_{i+2})\)}$

进而可以得到 $\large \colorbox{yellow}{\(k\leq 3\)}$

$a_2 = ln(a_1) - 1, a_3=ln(lna_1-1)-1$

令$g(a_1) = (a_3 - a_2) -(a_2-a_1)$

$a_1 = e^2$时 $a_2=1, a_3=-1, g(a_1)=e^2-3 > 0$

当 $a$ 趋近与 $e$ 时，$a_2$ 趋近于 $0$，$a_3$ 趋近与 $-\infty$

$\therefore 存在 a_1 \in (e, e^2)使得g(a_1) = 0$

$\large \colorbox{yellow}{\(k=3满足结论\)}$