已知曲线 $f(x)=\ln x$，取点$(a_1,f(a_1))$过其作曲线 $y=f(x)$ 的切线，交 $y$ 轴于点$(0,a_2)$，取点$(a_2,f(a_2))$过其作 $y=f(x)$ 的切线，交 $y$ 轴于点$(0,a_3)$，若 $a_3<0$ 则停止，以此类推，得到数列$\{a_n\}$。

（1）若正整数 $m\ge 2$，证明 $a_m=\ln a_{m-1}-1$；

第一问

思路分析

过点 $(a_{m-1}, f(a_{m-1}))$ 做切线，切线与 $y$ 轴交点的纵坐标为 $a_m$

详解

$f(a_{m-1})=lna_{m-1}$

$f'(x)=\frac{1}{x} \implies f'(a_{m-1})=\frac{1}{a_{m-1}}$

切线方程为：$y-lna_{m-1}=\frac{1}{a_{m-1}}(x-a_{m-1})$

$x=0时，y=lna_{m-1}-1$

$\large \therefore \colorbox{yellow}{\(a_m=\ln a_{m-1}-1\)}$