逆袭数学

已知函数$f(x)=e^{x}-ax$和$g(x)=ax-\ln x$有相同的最小值。

（1）求$a$；

（2）证明：存在直线$y=b$，其与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

第一问

第二问思路分析

第一问

内容提要：

1. 当 $a\gt 0时，x=-lna时，取得最小值a-alna$
2. 当 $a\gt 0时，x=\frac1a时，取得最小值1+lna$
3. 利用最小值相等列方程求 $a=1$，并证明 $a=1$是唯一解

$f'(x)=e^x-a$

若 $a\le 0$：

$e^x>0 \implies f'(x)=e^x-a>0$，$f(x)$没有极值点。

若 $(a>0)$：

令 $f'(x)=0$：$e^x-a=0 \implies x=\ln a$:

• $x<\ln a$：$f'(x)<0$，$(f(x))$ 递减
• $x>\ln a$：$f'(x)>0$，$(f(x))$ 递增

所以 $x=\ln a$ 是极小值点，也是最小值点。

代入求最小值：

$f(\ln a) =e^{\ln a}-a\cdot \ln a =a-a\ln a$

$\colorbox{yellow}{\(当 a\gt 0时，x=-lna时，取得最小值a-alna\)}$

$g'(x)=a-\frac1x$

由上一步已知：$(a>0)$

令 $g'(x)=0$：$a-\frac1x=0 \implies x=\frac1a$

• $0<x<\dfrac1a$：$g'(x)<0$，$(g(x))$ 递减
• $x>\dfrac1a$：$g'(x)>0$，$(g(x))$ 递增

$x=\dfrac1a$ 是极小值点，也是最小值点。代入：

$g\left(\frac1a\right) =a\cdot \frac1a-\ln\frac1a =1-\big(-\ln a\big) = 1+\ln a$

$\colorbox{yellow}{\(x=\frac1a时，取得最小值1+lna\)}$

令 $h(a) = a-alna-(1+lna)$，当 $a=1$ 时 $h(a)=0$

证明 $a=1$ 是唯一解

$h'(a)=1-(lna+1)-\frac1a=-lna-\frac1a$

$h''(a)=-\frac1a + a^{-2}=\boldsymbol{\frac{1-a}{a^2}}$

$h''(1)=0$

• 当 $0<a<1$：$h''(a)>0 \implies h'(a)$ 单调递增
• 当 $a>1$：$h''(a)<0 \implies h'(a)$ 单调递减

$h'(a)$ 最大值 $h'(1)=-1$

$\therefore h'(a) \lt 0 \implies h(a)严格单调减$

$\colorbox{yellow}{\(a=1是唯一解\)}$

第二问思路分析

从第一问知道 $f(x)$：

• 有唯一的极值点，$x=0$ 时最小值为 $1$,
• $x\lt 0$时递减，$x\gt 0$时递增，

$g(x)$：

• 有唯一的极值点，$x=1$ 时最小值为 $1$,
• $0\lt x \lt 1$时递减，$x\gt 1$时递增，

唯一的极值点并且是最小值还说明 $x$ 趋向正负无穷大时，都是趋向正无穷大

所以，$\colorbox{yellow}{\(b\gt 1时，y=b与f(x),g(x)都有两个交点\)}$

$\colorbox{yellow}{\(要想有三个交点必须有一个是公共交点\)}$

令$x=c$是公共点，有 $e^c -c = c-lnc=b$，

需要证明一下 $c$ 是存在的，并且可以猜测范围在 $(0,1)$ 之间

构建函数 $h(c) = e^c-c-(c-lnc)=e^c + lnc - 2c$

当 $c=1$ 时 $h(c)=e-2\gt 0$，

当 $c趋向0时，h(c)趋向负无穷$

$\colorbox{yellow}{\(存在c\in (0,1)时，满足f(c)=h(c)=b\)}$

$c\in(0,1)时，e^c -c = c-lnc=b \quad ①$

$f(lnc) = e^{lnc}-lnc = c-lnc = b$，也就是 $lnc$ 是 $f(x)=b$的另外一个解

$g(e^c) = e^c-ln(e^c) = e^c - c = b$, 也就是 $e^c$ 是 $g(x)=b$的另外一个解

所以三个交点的横坐标从左到右依次为：$lnc, c, e^c$

由①已经知道了$e^c-c=c-lnc$，是等差数列，完成了证明

这个题破局的关键是观察出：

$\colorbox{yellow}{\(f(lnx) = g(x), g(e^x) = f(x)\)}$