已知函数$f(x)=e^{x}-ax$和$g(x)=ax-\ln x$有相同的最小值。

（2）证明：存在直线$y=b$，其与两条曲线$y=f(x)$和$y=g(x)$共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。

第二问思路分析

从第一问知道 $f(x)$：

• 有唯一的极值点，$x=0$ 时最小值为 $1$,
• $x\lt 0$时递减，$x\gt 0$时递增，

$g(x)$：

• 有唯一的极值点，$x=1$ 时最小值为 $1$,
• $0\lt x \lt 1$时递减，$x\gt 1$时递增，

唯一的极值点并且是最小值还说明 $x$ 趋向正负无穷大时，都是趋向正无穷大

所以，$\colorbox{yellow}{\(b\gt 1时，y=b与f(x),g(x)都有两个交点\)}$

$\colorbox{yellow}{\(要想有三个交点必须有一个是公共交点\)}$

令$x=c$是公共点，有 $e^c -c = c-lnc=b$，

需要证明一下 $c$ 是存在的，并且可以猜测范围在 $(0,1)$ 之间

构建函数 $h(c) = e^c-c-(c-lnc)=e^c + lnc - 2c$

当 $c=1$ 时 $h(c)=e-2\gt 0$，

当 $c趋向0时，h(c)趋向负无穷$

$\colorbox{yellow}{\(存在c\in (0,1)时，满足f(c)=h(c)=b\)}$

$c\in(0,1)时，e^c -c = c-lnc=b \quad ①$

$f(lnc) = e^{lnc}-lnc = c-lnc = b$，也就是 $lnc$ 是 $f(x)=b$的另外一个解

$g(e^c) = e^c-ln(e^c) = e^c - c = b$, 也就是 $e^c$ 是 $g(x)=b$的另外一个解

所以三个交点的横坐标从左到右依次为：$lnc, c, e^c$

由①已经知道了$e^c-c=c-lnc$，是等差数列，完成了证明

这个题破局的关键是观察出：

$\colorbox{yellow}{\(f(lnx) = g(x), g(e^x) = f(x)\)}$