已知函数f(x)=ex−axf(x)=e^{x}-axf(x)=ex−ax和g(x)=ax−lnxg(x)=ax-\ln xg(x)=ax−lnx有相同的最小值。
（1）求aaa；
内容提要：
第一步：求 (f(x))=ex−ax(f(x))=e^x-ax(f(x))=ex−ax 的最小值
f′(x)=ex−af'(x)=e^x-af′(x)=ex−a
若 a≤0a\le 0a≤0：
ex>0 ⟹ f′(x)=ex−a>0e^x>0 \implies f'(x)=e^x-a>0ex>0⟹f′(x)=ex−a>0，f(x)f(x)f(x)没有极值点。
若 (a>0)(a>0)(a>0)：
令 f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0：ex−a=0 ⟹ x=lnae^x-a=0 \implies x=\ln aex−a=0⟹x=lna:
所以 x=lnax=\ln ax=lna 是极小值点，也是最小值点。
代入求最小值：
f(lna)=elna−a⋅lna=a−alna f(\ln a) =e^{\ln a}-a\cdot \ln a =a-a\ln a f(lna)=elna−a⋅lna=a−alna
当a>0时，x=−lna时，取得最小值a−alna\colorbox{yellow}{\(当 a\gt 0时，x=-lna时，取得最小值a-alna\)}当a>0时，x=−lna时，取得最小值a−alna
第二步：求g(x)=ax−lnx, (x>0)g(x)=ax-\ln x,\ (x>0)g(x)=ax−lnx, (x>0)的最小值
g′(x)=a−1xg'(x)=a-\frac1xg′(x)=a−x1
由上一步已知：(a>0)(a>0)(a>0)
令 g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0：a−1x=0 ⟹ x=1aa-\frac1x=0 \implies x=\frac1aa−x1=0⟹x=a1
x=1ax=\dfrac1ax=a1 是极小值点，也是最小值点。代入：
g(1a)=a⋅1a−ln1a=1−(−lna)=1+lnag\left(\frac1a\right) =a\cdot \frac1a-\ln\frac1a =1-\big(-\ln a\big) = 1+\ln ag(a1)=a⋅a1−lna1=1−(−lna)=1+lna
x=1a时，取得最小值1+lna\colorbox{yellow}{\(x=\frac1a时，取得最小值1+lna\)}x=a1时，取得最小值1+lna
第三步：利用最小值相等求 aaa，并证明是唯一解
令 h(a)=a−alna−(1+lna)h(a) = a-alna-(1+lna)h(a)=a−alna−(1+lna)，当 a=1a=1a=1 时 h(a)=0h(a)=0h(a)=0
证明 a=1a=1a=1 是唯一解
h′(a)=1−(lna+1)−1a=−lna−1ah'(a)=1-(lna+1)-\frac1a=-lna-\frac1ah′(a)=1−(lna+1)−a1=−lna−a1
h′′(a)=−1a+a−2=1−aa2h''(a)=-\frac1a + a^{-2}=\boldsymbol{\frac{1-a}{a^2}}h′′(a)=−a1+a−2=a21−a
h′′(1)=0h''(1)=0h′′(1)=0
h′(a)h'(a)h′(a) 最大值 h′(1)=−1h'(1)=-1h′(1)=−1
∴h′(a)<0 ⟹ h(a)严格单调减\therefore h'(a) \lt 0 \implies h(a)严格单调减∴h′(a)<0⟹h(a)严格单调减
a=1是唯一解\colorbox{yellow}{\(a=1是唯一解\)}a=1是唯一解