逆袭数学

已知$a\in \mathbf{R}$，函数$f(x)=x^{2}+ax+3$，$g(x)=4x+\dfrac{1}{x^{2}}$。

（1）已知$f(1)=4$，求$f(x)+\dfrac{1}{x^{2}}>g(x)$的解集；

（2）已知$a不等于 0$，$l_{1}$是$f(x)$在点$(0,3)$处的切线，$l_{2}$是过点$(0,3)$且垂直于$l_{1}$的直线，$g(x)$与$l_{1}$、$l_{2}$在第一象限内均无公共点，求$a$的取值范围。

第一问

第二问

第一问

详解

$$\begin{aligned} &\qquad\qquad f(1)=4 \\ &\implies 1^2 + a + 3 =4 \\ &\implies a=3 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\qquad\qquad f(x)+\dfrac{1}{x^{2}}\gt g(x)\\ &\implies f(x)+\dfrac{1}{x^{2}}-g(x)\gt 0 \\ &\implies x^2 -4x+3>0 \gt \\ &\implies x\gt 3 或 x \lt 1 \end{aligned}$$

$\because x不等于 0$，解集为: $(-\infty,0) \cup (0, 1) \cup(3, +\infty)$

第二问

详解

由 $f(x) = x^2 + ax + 3$，得 $f'(x) = 2x + a$，

$\therefore f'(0) = 0 + a = a$。

$\because$ 直线 $l_1$ 为 $f(x)$ 在点 $(0,3)$ 的切线，

$\therefore$ 直线 $l_1$ 的方程为：$\boxed{y = ax + 3}$，

$\because l_2$ 是过点 $(0,3)$ 且垂直于 $l_1$ 的直线，

$\therefore$ 直线 $l_2$ 的方程为：$y = \boxed{-\dfrac{1}{a}x + 3}$，

$l_1、l_2与g(x)在第一像限无公共点$，

$g(x)-(ax+3)=0$ 无解

$g(x)-(-\dfrac{1}{a}x + 3)=0$ 无解

也就是

$(4-a)x+\dfrac{1}{x^{2}}-3=0$ 无解

$(4+\dfrac{1}{a})x+\dfrac{1}{x^{2}}-3=0$ 无解

令函数$h(x) = \Large \boxed{\textcolor{red}{k}x + \dfrac{1}{x^{2}}-3}$

$\boxed{\boldsymbol{h'(x) = k - \frac{2}{x^3}}}$

当 $k\leq 0时$，$h'(x) < 0，h(x)严格递减$，

$x接近于0$时$h(x) \gt 0$，

$x\gt 1时h(x)\lt 0$，

方程$h(x)=0$有解

$\Large \textcolor{red}{不满足条件}$。

当$k\gt 0$时，

$$\begin{aligned} &\qquad h'(x) = 0 \\ & k - \frac{2}{x^3} = 0 \\ &\implies x^3 = \frac{2}{k} \\ &\implies x=\sqrt[3]{\frac{2}{k}} \end{aligned}$$

设$\Large \boxed{h_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{k}}}$

因为h’(x)递增，所以当$x \lt h_0$时，$h'(x)\lt 0$，当$x \gt h_0$时，$h'(x)\gt 0$

所以$\Large \boxed{x=h_0}$时，取得最小值

$$\begin{aligned} h(h_0)&=kh_0+\frac{1}{h_0^2}-3\\ &=\frac{kh_0^3+1}{h_0^2} \\ &={\Large \frac{3}{h_0^2}-3}\\ \end{aligned}$$

只有当最小值$\Large \textcolor{red}{\gt 0}$时，$h(x)=0$ 无解。

$$\begin{aligned} &\qquad \quad \frac{3}{h_0^2}-3 \gt 0 \\ &\implies h_0^2 \lt 1 \\ &\implies (\sqrt[3]{\frac{2}{k}})^2 \lt 1 \\ &\implies k^2 \gt 4 \\ &\implies k > 2 \end{aligned}$$

所以$h(x)=0$无解的条件为: $\Large \boxed{k\gt 2}$

得到$a$需要满足的条件:

$$\begin{cases} 4-a\gt 2 \qquad \qquad\\ 4+\dfrac{1}{a} \gt 2\qquad \qquad\\ \end{cases}$$

当$a\gt 0$时：

$$4-a\gt 2$$

解得$a<2$，合并分类条件得到 $\Large \boxed{0\lt a \lt 2}$

当$a\lt 0$时：

$$4+\dfrac{1}{a} \gt 2\\$$

$$\begin{aligned} &\qquad \quad4+\dfrac{1}{a} \gt 2 \\ & \implies 4a+1 \textcolor{red}{\lt}2a \\ & \implies 2a \lt -1 \end{aligned}$$

解得$\Large a \lt -\frac{1}{2}$。

$a的取值范围为：\Large \boxed{a \lt -\frac{1}{2} 或者 0\lt a \lt 2}$