已知$a\in \mathbf{R}$，函数$f(x)=x^{2}+ax+3$，$g(x)=4x+\dfrac{1}{x^{2}}$。

（1）已知$f(1)=4$，求$f(x)+\dfrac{1}{x^{2}}>g(x)$的解集；

（2）已知$a不等于 0$，$l_{1}$是$f(x)$在点$(0,3)$处的切线，$l_{2}$是过点$(0,3)$且垂直于$l_{1}$的直线，$g(x)$与$l_{1}$、$l_{2}$在第一象限内均无公共点，求$a$的取值范围。

第一问

详解

$$\begin{aligned} &\qquad\qquad f(1)=4 \\ &\implies 1^2 + a + 3 =4 \\ &\implies a=3 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\qquad\qquad f(x)+\dfrac{1}{x^{2}}\gt g(x)\\ &\implies f(x)+\dfrac{1}{x^{2}}-g(x)\gt 0 \\ &\implies x^2 -4x+3>0 \gt \\ &\implies x\gt 3 或 x \lt 1 \end{aligned}$$

$\because x不等于 0$，解集为: $(-\infty,0) \cup (0, 1) \cup(3, +\infty)$