逆袭数学

已知 $f(x)=x^{2}-(m+2)x+m\ln x,\,m\in \mathbf{R}$。

（1）若 $f(1)=0$，求不等式 $f(x)\leq x^{2}-1$ 的解集；

（2）若函数 $y=f(x)$ 满足在 $(0,+\infty)$ 上存在极大值，求 $m$ 的取值范围；

第一问

第二问

第一问

$$\begin{aligned} &\qquad \quad f(1)=0 \\ & \implies 1-(m+2) = 0 \\ & \implies {m = -1} \\ &\implies {\Large \boxed{f(x)=x^2-x-lnx}} \end{aligned}$$

令$h(x) = f(x)-(x^2-1)= -x-lnx+1$，

原问题转化为求$h(x)\leq 0的x的范围$

$h(1)=-1-0+1 = 0$

$h'(x) = -1 - \frac{1}{x} \lt 0，h(x)是严格单调减$

$\therefore x\geq 1时，h(x)\leq h(1) = 0$

$\therefore 不等式解集为：\Large \boxed{[1, +\infty)}$

第二问

思路分析

有极大值点：

• 有驻点，就是导数为0的点。
• 导数是由正转负，就是驻点左边导数值大于0，右边是小于0

$$\begin{aligned} &\qquad f'(x)=x-(m+2)+\frac{m}{x} \\ &=\frac{2x^2-(m+2)x+m}{x} \\ &=\frac{(2x-m)(x-1)}{x} \\ &\implies {\Large \boxed{驻点x=\frac{m}{2}，x=1}} \end{aligned}$$

若$m \le 0$，

则$x\in(0,1)$时，$f'(x)<0$，

$x\in(1,+\infty)$时，$f'(x)>0$，

故$x=1$$为$$f(x)$的极小值点，$\Large \boxed{无极大值点，舍去}$。

若$0<\frac{m}{2}<1$即$0<m<2$，

$x\in\left(0,\frac{m}{2}\right)$时，$f'(x)>0$，

则$x\in\left(\frac{m}{2},1\right)$时，$f'(x)<0$，

故$x=\frac{m}{2}$为$f(x)$的极大值点，$\Large \boxed{符合题设要求}$ ；

若$m=2$，

则$x\in(0,+\infty)$，$f'(x)\ge0$，

$\Large \boxed{无极大值点，舍去}$。

若$\frac{m}{2}>1$即$m>2$，

$x\in(0,1)$时，$f'(x)>0$，

$x\in\left(1,\frac{m}{2}\right)$时，$f'(x)<0$，

故$x=1$为$f(x)$的极大值点，符合题设要求；

综上，$\Large \boxed{m\gt 0且m不等于 2}$。