逆袭数学

已知函数 $f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$。

（1）当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

（2）若 $f(x)$ 有极小值，且极小值小于 $0$，求 $a$ 的取值范围。

第一问

第二问

第一问

当 $a=1$ 时，$f(x)=\mathrm{e}^x - x - 1$，可得$f(1)=\mathrm{e}-2$

$f'(x)=\mathrm{e}^x - 1$，$f'(1)=\mathrm{e}-1$，

即切点坐标为$(1,\mathrm{e}-2)$，切线斜率$k=\mathrm{e}-1$，

所以切线方程为 $y-(\mathrm{e}-2)=(\mathrm{e}-1)(x-1)$，

整理得：$\large \colorbox{yellow}{\((\mathrm{e}-1)x-y-1=0\)}$。

第二问

$f'(x)=e^x-a$

若$a \le 0$，则$f'(x) \gt 0$对任意$x \in \mathbf{\mathbf{R}}$恒成立，

可知$f(x)$在$\mathbf{\mathbf{R}}$上单调递增，无极值，不合题意；

若$a>0$，令$f'(x)=0$，解得$x=lna$；

当 $x \lt lna$，$e^x \lt a \implies f'(x) \lt 0$

当 $x \gt lna$，$e^x \gt a \implies f'(x) \gt 0$

$\large \colorbox{yellow}{\(\therefore x=lna时，取得极小值a-lna-a^3\)}$

由最小值小于 $0$：$=a(1-\ln a-a^2)<0$，即$a^2+\ln a-1>0$，

构建$g(a)=a^2+\ln a-1$，$g(1)=0$，

$g'(a)=2a+\dfrac{1}{a}>0$，

可知$g(a)$在$(0,+\infty)$内单调递增，

所以$a$的取值范围为$\large \colorbox{yellow}{\((1,+\infty)\)}$；