逆袭数学

若 $f(x)=\log_{a}x(a>0,a不等于1)$.

（1）$y=f(x)$ 过 $(4,2)$，求 $f(2x-2)<f(x)$ 的解集；

（2）存在 $x$ 使得 $f(x+1)$、$f(ax)$、$f(x+2)$ 成等差数列，求 $a$ 的取值范围。

详解

详解

第一问

$\therefore y=f(x)$ 过 $(4,2)$

$$\begin{aligned} &\qquad log_a{4}=2 \\ &\implies \frac{ln4}{lna}=2 \\ &\implies lna = \dfrac12ln4 \\ &\implies lna = ln2 \\ &\implies a=2 \end{aligned}$$

$a=2$时，$log_a(x)$严格增 $f(2x-2)<f(x) \implies 2x-2\lt x$，

$$\begin{cases} x \gt 0 \\ 2x-2 \gt 0 \implies x\gt 1 \\ 2x-2\lt x \implies x\lt 2 \end{cases}$$

$\large \colorbox{yellow}{\(\therefore 解集为(1,2)\)}$

第二问

当 $x\gt 0$ 时，$f(x+1)$、$f(ax)$、$f(x+2)$有意义，

$$\begin{aligned} &\qquad \quad f(x+2)-f(ax)=f(ax)-f(x+1) \\ &\implies \frac{x+2}{ax}=\frac{ax}{x+1} \\ &\implies a^2x^2 = (x+1)(x+2) \\ &\implies a^2 = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x}+1 \\ &\implies a^2 = 2(\frac{1}{x}+\dfrac34)^2-\dfrac18 \end{aligned}$$

令 $t=\frac{1}{x}$，则$t\gt 0$

$2(t+\dfrac34)^2-\dfrac18在区间[-\dfrac34, +\infty递增)$

$a^2 \gt 2(0+\dfrac{3}{4})^2-\dfrac{1}8{}$

$\large \colorbox{yellow}{\(a\gt 1\)}$