逆袭数学

已知函数 $f(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x$。

（1）当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；

（2）当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\ge 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

第一问

第二问

第一问

当$a=-2$时，$f(x)=(1+2x)\ln(1+x)-x$，

$$\begin{aligned} f'(x)&=2\ln(1+x)+\dfrac{1+2x}{1+x}-1\\ &=2\ln(1+x)+\dfrac{\colorbox{yellow}{\(2x+2-1\)}}{1+x}-1 \\ &=2\ln(1+x)-\dfrac{1}{1+x}+1 \end{aligned}$$

$f'(0)=0$

因为$y=2\ln(1+x)$，$y=-\dfrac{1}{1+x}+1$在$(-1,+\infty)$上为增函数，

$f'(x)$在$(-1,+\infty)$上为增函数

当$-1<x<0$时，$f'(x)<0$，当$x>0$时，$f'(x)>0$，

$\colorbox{yellow}{\(所以x=0时，函数有极小值\)}$

第二问

解题大纲

1. 观察出 $f(0)=0$，计算 $f'(x)$，观察出 $f'(0)=0$
2. 证明要满足题目条件，需满足 $f''(0)\geq 0$
3. 求得当 $a\leq -\dfrac12$时，$f''(0)\geq 0$
4. 证明当 $a\leq -\dfrac12$时，$f(x) \geq 0 0$恒成立
5. 总结

$f(0)=0$

$$\begin{aligned} f'(x)&=-a\ln(1+x)+\dfrac{1-ax}{1+x}-1\\ &=-a\ln(1+x)+\dfrac{\colorbox{yellow}{\(a+1-a-ax\)}}{1+x}-1 \\ &=-a\ln(1+x)+\dfrac{a+1}{1+x}-(a+1) \end{aligned}$$

$f'(0)=0$

引理：满足题目条件的必要条件为 $f''(0) \geq 0$

证明：如果 $f''(0) \lt 0$，又 $\because f'(0) = 0$

$\therefore$，存在 $e_0$使得 $x \in (0,e_0)$时，$f'(x) \lt 0$

又 $\because f'(0) = 0,f(0) = 0$，存在 $e_1$使得 $x \in (0,b)$时，$f(x) \lt 0$，不满足题目条件

$\therefore$满足题目要求$\colorbox{yellow}{\(必要条件为f''(0) \geq 0\)}$

$$\begin{aligned} f''(x)&=\frac{-a}{1+x}-\frac{a+1}{(1+x)^2} \\ &=\frac{-ax-2a-1}{(1+x)^2} \end{aligned}$$

满足题目要求的为$\large \colorbox{yellow}{\(必要条件\)}$：

$\colorbox{yellow}{\(-2a-1\geq 0 \implies a \leq -\dfrac12\)}$

当$a \leq -\dfrac12,x\geq 0$时，$-ax\geq 0, 2a+1\geq 0$

$\therefore f''(x)\geq 0$

又$\because f'(0) = 0$，$\therefore f'(x)\geq 0$

又$\because f(0) = 0$，$\therefore f(x)\geq 0$

$\therefore \colorbox{yellow}{\(a的取值范围为a\leq -\dfrac12\)}$