逆袭数学

19 已知函数$f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$。

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）证明：当$a>0$时，$f(x)>2\ln a+\dfrac{3}{2}$。

第一问

第二问

第一问

$f'(x)=a\mathrm{e}^x-1$，

当 $\colorbox{yellow}{\(a\le0\)}$ 时，

由于 $\mathrm{e}^x>0$，则 $a\mathrm{e}^x \le 0$，故 $f'(x)=a\mathrm{e}^x-1<0$，

所以 $f(x)$ 在$\mathbb{\mathbb{R}}$上单调递减；

当 $\colorbox{yellow}{\(a>0\)}$ 时，$f'(x)单调递增$

令 $f'(x)=a\mathrm{e}^x-1=0$，解得 $x=-\ln a$，

当 $\colorbox{yellow}{\(x<-\ln a\)}$ 时，$f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\ln a)$ 上单调递减；

当 $\large \colorbox{yellow}{\(x>-\ln a\)}$ 时，$f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(-\ln a,+\infty)$ 上单调递增；

第二问

由第一问知道 $x=-lna$ 时取得最小值 $f(-lna) = 1 + a^2 + lna$

令 $h(a)=1+a^2+lna-(2\ln a+\dfrac{3}{2}) = a^2-lna-\dfrac12$

原问题转化为证明$h(a)\gt 0$

$h'(a)=2a-\frac{1}{a} = \frac{2a^2-1}{a}$

$(h(a))$在$\left(0,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$上单调递减，在$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right)$上单调递增，

$h(\frac{\sqrt2}{2})=-ln\frac{\sqrt2}{2} \gt 0$

$\therefore h(a) \gt 0，完成证明$