19 已知函数$f(x)=a\left(\mathrm{e}^{x}+a\right)-x$。

（1）讨论$f(x)$的单调性；

（2）证明：当$a>0$时，$f(x)>2\ln a+\dfrac{3}{2}$。

第一问

$f'(x)=a\mathrm{e}^x-1$，

当 $\colorbox{yellow}{\(a\le0\)}$ 时，

由于 $\mathrm{e}^x>0$，则 $a\mathrm{e}^x \le 0$，故 $f'(x)=a\mathrm{e}^x-1<0$，

所以 $f(x)$ 在$\mathbb{\mathbb{R}}$上单调递减；

当 $\colorbox{yellow}{\(a>0\)}$ 时，$f'(x)单调递增$

令 $f'(x)=a\mathrm{e}^x-1=0$，解得 $x=-\ln a$，

当 $\colorbox{yellow}{\(x<-\ln a\)}$ 时，$f'(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,-\ln a)$ 上单调递减；

当 $\large \colorbox{yellow}{\(x>-\ln a\)}$ 时，$f'(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $(-\ln a,+\infty)$ 上单调递增；