- 已知 $ a + b = \frac{1}{2} $, $ a + c = -2 $，那么代数式 $ (b - c)^2 - 2(c - b) - \frac{9}{4} $ 是______
【答案】 $9$
【详解】
解：$\because a + b = \frac{1}{2}$, $a + c = -2$，
$\therefore (a + b) - (a + c) = \frac{1}{2} - (-2) = \frac{5}{2}$，
即 $ b - c = \frac{5}{2} $, $ c - b = -\frac{5}{2} $，
$\therefore (b - c)^2 - 2(c - b) - \frac{9}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{5}{2}\right) - \frac{9}{4} = 9$．
故答案为 $9$
已知 $ a^2 - 4ab - 5b^2 = 3m + 15 $，$ a^2 + 2b^2 = 10 - m $，则式子 $ a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2 $ 的值为 ______。
【答案】$ \frac{45}{4} $
【提示】要把消去m作为目标，如果消去m后的式子跟要求的式子没有关系，那么这个题的答案就不会是常数。
【详解】
∵ $ a^2 - 4ab - 5b^2 = 3m + 15 $ ①，
$ a^2 + 2b^2 = 10 - m $ ②，
∴ ① + ② × 3，得
$ 4a^2 - 4ab + b^2 = 45 $，
∴ $ a^2 - ab + \frac{1}{4}b^2 = \frac{45}{4} $。
故答案为：$ \frac{45}{4} $
当$x=7$时，代数式$ax^3+bx-5$的值为7，则若当$x=-7$时，代数式$ax^3+bx-5$的值为$\underline{\hspace{1cm}}$
【答案】$-17$
【详解】解：$\because$ 当 $x = 7$ 时，$ax^3 + bx - 5 = 7$，
$\therefore 7^3\cdot a + 7b = 12$，
当 $x = -7$ 时，$ax^3 + bx - 5 = -7^3\cdot a - 7b-5=-17$，
已知：$(x^2 - x + 1)^3 = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，求：
$（1）a_0$ 的值
$（2）a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0$ 的值；
$（3）a_6 - a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0$ 的值；
$（4）a_6 + a_4 + a_2$ 的值。
【答案】
$(1) 1 $
$(2) 1 $
$(3) 27 $
$(4) 13 $
实数 $ x $ 满足 $ x^2 - 3x + 1 = 0 $，求 $ 2x^3 - 7x^2 + 5x + 2022 $ 的值。
解 把一次项和常数项移到右边： $$ x^2 = 3x - 1 $$
$$ \begin{align*} 原式 & =2\colorbox{yellow}{$x^2 $} \cdot x- 7x^2 + 5x + 2022 \\ & = 2\colorbox{yellow}{$(3x-1) \cdot $}x - 7x^2 + 5x + 2022 \\ & = 6x^2-2x - 7x^2 + 5x + 2022 \\ & = -\colorbox{yellow}{$x^2$} + 3x + 2022 \\ & = -\colorbox{yellow}{$(3x-1)$} + 3x + 2022 \\ &=2023 \end{align*} $$
我们知道，$2x + 3x - x = (2 + 3 - 1)x = 4x$，类比地，我们也可以将 $(a + b)$ 看成一个整体，则
$$
2(a + b) + 3(a + b) - (a + b) = (2 + 3 - 1)(a + b) = 4(a + b)
$$
整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛。
请根据上面的提示和范例，解决下面的题目：
(1) 把 $(x - y)^2$ 看成一个整体，求 $2(x - y)^2 - 5(x - y)^2 + (x - y)^2$ 合并的结果；
(2) 已知 $2m - \frac{3}{2}n = 4$，求 $8m - 6n + 5$ 的值；
(3) 已知 $a - 2b = -5$，$b - c = -2$，$3c + d = 6$，求 $(a + 3c) - (2b + c) + (b + d)$ 的值。
【答案】
(1) $-2(x - y)^2$；
(2) $21$；
(3) $-1$。
【详解】
(1) 解：
$$
2(x - y)^2 - 5(x - y)^2 + (x - y)^2 = (2 - 5 + 1)(x - y)^2 = -2(x - y)^2
$$
(2) 解：
$$
\because 2m - \frac{3}{2}n = 4, \\
\therefore 8m - 6n + 5 = 4\left(2m - \frac{3}{2}n\right) + 5 = 4 \times 4 + 5 = 21
$$
(3) 解：
$$
\because a - 2b = -5,\quad b - c = -2,\quad 3c + d = 6,
$$
$$ \begin{align*} \therefore &= (a + 3c) - (2b + c) + (b + d) \\ &= a + 3c - 2b - c + b + d \\ &= (a - 2b) + (b - c) + (3c + d) \\ &= -5 + (-2) + 6 \\ &= -1 \end{align*} $$