由题意，$\triangle ABM$的面积$=\triangle AMC$的面积$=\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 1=1$，

$\because$ 正方形中过$G$点作边$AB$、$AM$的高相等，$AB=2$，$AM=1$，

$\therefore \triangle ABG$的面积$=2 \times \triangle AMG$的面积，

$\therefore \triangle AGM$的面积$=\displaystyle \frac{1}{3} \times \triangle ABM$的面积$=\displaystyle \frac{1}{3}$，

$\triangle AGB$的面积$=\triangle CGM$的面积$=\displaystyle \frac{2}{3}$，

$\therefore$ 阴影部分的面积$=2 \times \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{4}{3}$。