已知$(i,j,k)$是$1$，$2$，$3$的一个排列，若函数$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对任意$x\in I$，都有$f_1(x)\leq f_i(x)$且$f_1(x)+f_2(x)\leq f_i(x)+f_j(x)$，则称$(i,j,k)$是关于$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$的一个$I$排列，则关于$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$的$I$排列总数记为$n_I$。

（3）对$x\in[0,+\infty)$，且对任意$x\in[0,+\infty)$，$0<F(x)<1$，令$I=[a,+\infty)$，$f_1(x)=F(x)$，$f_2(x)=\frac12\left(F(x+a)+F(x-a)\right)$，$f_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$，证明：若$F(x)$严格减，则存在$a>0$，使$n_I\geq4$；若$F(x)$严格增，则存在$a\in(0,1)$，$n_I\neq2$。

第三问 第一部分

$F(x)严格减$

思路分析

首先要知道$f_3(x)$是一个什么样的函数：

第一种角度，可以看成$e^x$经过下面三步变换得到：

1. $y$轴对称得到$e^{-x}$
2. $x$轴对称得到$-e^{-x}$
3. 向上平移得到$1-e^{-x}$

第二个角度:

• $f_3(0) = 1-e^0 = 0$
• $f_3(x) = 1-e^{-x} < 1$
• $f_3'(x)=e^{-x}$，单调增

做一条直线$y=F(0)$和$f_3(x)$相交，设交点横坐标为$c$，也就是$\textcolor{red}{f_3(c) = F(0)}$。

令$a=c，则f_3(a)=F(0)$

对于任意的$x \in [a, +\infty)$有：

$\textcolor{red}{F(0) = f_3(a)\leq f_3(x)}$

$f_1(x) \leq F(0) \leq f_3(x)$,

$f_2(x) \leq \frac{\textcolor{red}{F(0) + F(0)}}{2}\leq f_3(x)$

根据第二问总结可以得到4个组合都是$I$排列。

详解

令: $f_3(c) = F(0)$

$$\begin{aligned} 1 - e^{-c} &= F(0) \\ e^{-c} &= 1-F(0) \quad(0 \lt 1-F(0) \lt 1 ) \\ -c &= ln(1-F(0)) \quad(-c < 0) \\ c &=-ln(1-F(0)) \quad (c > 0) \end{aligned}$$

令$a=c$，所以$f_3(a)=F(0)$

当$x \in [a, +\infty]$时，

$$\begin{aligned} &\qquad \qquad f'_3(x)=e^{-x} \\& \implies f_3(x)是严格增函数\\ & \implies f_3(x) \geq f_3(a)\\ & \implies f_3(x) \geq F(0) \end{aligned}$$

$F(x)严格减\implies F(x)\leq F(0)$

$\begin{aligned} f_2(x) &= \frac12\left(F(x+a)+F(x-a)\right) \\ &\leq\frac12(\textcolor{red}{F(0) + F(0)}) \\ &=F(0) \end{aligned}$

当$x \in [a, +\infty]$时，

$f_1(x) \leq F(0) \leq f_3(x)$

$f_2(x) \leq F(0) \leq f_3(x)$

根据第二问总结的表格，下面四个都是$I$排列:

• $(1,2,3)$，恒是
• $(1,3,2)$，需满足$f_2(x)\le f_3(x)$
• $(3,1,2)$，需满足$f_1(x)\le f_3(x),\, f_2(x)\le f_3(x)$
• $(3,2,1)$，需满足$f_1(x)\le f_3(x)$

所以存在$a=-ln(1-F(0))$，使得$n_I\geq 4$，得证。