已知$(i,j,k)$是$1$，$2$，$3$的一个排列，若函数$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对任意$x\in I$，都有$f_1(x)\leq f_i(x)$且$f_1(x)+f_2(x)\leq f_i(x)+f_j(x)$，则称$(i,j,k)$是关于$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$的一个$I$排列，则关于$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$的$I$排列总数记为$n_I$。

（2）对$I=(0,+\infty)$，$f_1(x)=x-1$，$f_2(x)=x+m$，$f_3(x)=x^2$满足条件的$n_I=6$，求$m$的取值范围；

第二问

$1$，$2$，$3$的排列总共六种组合，$N_I = 6$也就是包含了全部组合，

① $(i,j,k)=(1,2,3)$，则有：$f_1(x)\le f_1(x),\, f_1(x)+f_2(x)\le f_1(x)+f_2(x)$，$\textcolor{red}{恒满足}$。

② $(i,j,k)=(1,3,2)$，则有：$f_1(x)\le f_1(x),\, f_1(x)+f_2(x)\le f_1(x)+f_3(x)$，即$\textcolor{red}{f_2(x)\le f_3(x)}$。

③ $(i,j,k)=(2,1,3)$，则有：$f_1(x)\le f_2(x),\, f_1(x)+f_2(x)\le f_2(x)+f_1(x)$，即$\textcolor{red}{f_1(x)\le f_2(x)}$。

④ $(i,j,k)=(2,3,1)$，则有：$f_1(x)\le f_2(x),\, f_1(x)+f_2(x)\le f_2(x)+f_3(x)$，即$\textcolor{red}{f_1(x)\le f_2(x),\, f_1(x)\le f_3(x)}$。

⑤ $(i,j,k)=(3,1,2)$，则有：$f_1(x)\le f_3(x),\, f_1(x)+f_2(x)\le f_3(x)+f_1(x)$，即$\textcolor{red}{f_1(x)\le f_3(x)，f_2(x)\le f_3(x)}$。

⑥ $(i,j,k)=(3,2,1)$，则有：$f_1(x)\le f_3(x),\, f_1(x)+f_2(x)\le f_3(x)+f_2(x)$，即$\textcolor{red}{f_1(x)\le f_3(x)}$。

要同时满足，必有：$\textcolor{red}{f_1(x)\le f_2(x)\le f_3(x)}$

问题转化成：$x-1\le x+m\le x^2$ 对 $任意 x>0$ 恒成立，

由前一部分得到：$-1\le m$，

由后一部分：

$$\begin{aligned} &\qquad \quad x^2-x-m \\ &= (x-\frac{1}{2})^2 -m-\frac{1}{4} \\ &\implies -m-\frac{1}{4} \geq 0\\ &\implies m \leq -\frac{1}{4} \end{aligned}$$

所以 $-1\le m\le -\dfrac{1}{4}$.