已知$(i,j,k)$是$1$，$2$，$3$的一个排列，若函数$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对任意$x\in I$，都有$f_1(x)\leq f_i(x)$且$f_1(x)+f_2(x)\leq f_i(x)+f_j(x)$，则称$(i,j,k)$是关于$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$的一个$I$排列，则关于$f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$的$I$排列总数记为$n_I$。

（1）已知$I=[3,+\infty)$，$f_1(x)=x$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=x^2+1$，判断$(3,1,2)$是否为$I$排列；

第一问

思路分析

首先要搞清楚题目中的新定义：

牵涉到的对象：

• $(i,j,k)$是$1$，$2$，$3$的一个排列，类似$(1,2,3)$，$(1,2,3)$，总共六种。
• $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$是三个函数
• $I$ 是集合

(i,j,k)首先是$1$，$2$，$3$的一个排列，满足要求的两个条件就可以称为关于三个函数的集合名字。

需要满足的条件：对任意$x\in I$，都有$f_1(x)\leq f_i(x)$且$f_1(x)+f_2(x)\leq f_i(x)+f_j(x)$

在一个定义内，字母表示的含义不能发生变化，可以看到$i,j,k$还出现在函数名的下标里，用于表示不同的函数。

$i=3,\,j=1$

对任意$x\in I$，都有$f_1(x)\leq f_\textcolor{red}{3}(x)$且$f_1(x)+f_2(x)\leq f_\textcolor{red}{3}(x)+f_\textcolor{red}{1}(x)$

由题意得 $i=3,\,j=1$

$$\begin{aligned} f_3(x) - f_1(x) &= x^2 + 1 -x\\ & = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq 0 \end{aligned}$$

满足条件。

$$\begin{aligned} &\quad [f_3(x) + f_1(x)] -[ f_1(x) +f_2(x)] \\ &= f_3(x) - f_2(x) \\ &=(x^2 + 1) \geq 0 \end{aligned}$$

满足条件

$\therefore (3,1,2)$是为$I$排列