已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且当$x<0$时，$f(x)=2^x$。对任意$x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合$D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

(3) 设$f(x)$满足：①若$f(x_1)\le f(x_2)$，则$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；②当$0<x<1$时，$f(x)<f(0)$。

(i) 证明：$f(0)\ge1$；

(ii) 证明：$f(x)$在区间$(0,+\infty)$单调递增。

第三问(i)

思路分析

①若$f(x_1)\le f(x_2)$，则$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；

对条件①的理解，可以简单的看成$\large \colorbox{yellow}{\(函数值越大，集合越小\)}$，虽然不准确，但是对理解题目还是很由帮助的。

由于集合的定义中和①的条件部分都有函数值的比较，$\large \colorbox{yellow}{\(假定函数值的大小关系来进行观察、归纳\)}$是这个题目的关键点。

$\large \colorbox{yellow}{\(大胆猜想，小心求证\)}$不仅对数学，对其它学科也是很基本的方法。

题干给出了$x < 0$时候的解析式，可以求出$a<0$时$D(a)$的一个子集，就是解关于$d$的不等式组:

$$\begin{cases} a + \textcolor{red}{d} < 0 \quad (分类条件)\quad ① \\ 2^{a+\textcolor{red}{d}} > 2^a \quad(D(a)的定义) \quad ② \\ \end{cases}$$

由①得：$d\lt -a \quad(两边同时加-a，方向不变)$

由②得：

$$\begin{aligned} &\qquad \quad 2^{(d+a)} \gt 2^{a} \quad \\ &\implies d+a \gt a \quad(2^x严格单调增) \\ &\implies d \gt 0(同时加-a，方向不变) \end{aligned}$$

得到 $0 < d <-a$，也就是$a<0$时$D(a)$有一个子集$(0, -a)$。

比如：$D(-2)$有一个子集$(0,2)$，$D(-3)$有一个子集$(0,3)$

这个题目中条件很少，直接证明几乎没有办法入手，反正法是比较容易想到的。

如果我们假定 $f(0) <1$, 又因为 $x<0$ 时，$2^x$ 可以无限接近于1，所以我们肯定能找到 $e_0 < 0$ 使得 $\textcolor{red}{f(0) \leq f(e_0)}$。

根据条件①，$D(e_0)$ 是 $D(0)$ 的子集，$D(e_0)=(0,-e_0)$ 就是 $D(0)$ 的子集，

在 $D(0)$ 里面肯定找到一个接近 $0$ 的数 $e_1$，

$\textcolor{red}{f(e_1) > f(0)}$ 与条件②矛盾

详解

证明：

第一步，求$a\lt 0$时，$D(a)$，

$\because$ $x<0$时，$f(x)=2^x$，

$$\begin{cases} a + d < 0 \\ 2^{a+d} > 2^a \\ \end{cases}$$

得到 $0 < d <-a$。

也就是 $a<0$时，$D(a)$有一个子集$(0, -a)$ ③

第二步，用反证法，假设$f(0) < 1$

构造一个$d < 0，f(d) > f(0)$：

1，如果$f(0)\leq 0$,设$d=-1$, $f(d) = \frac{1}{2} > f(0)$

2, 如果$0\lt f(0) \lt 1$，设$d=log_2(\frac{f(0) + 1}{2})$

$\because \frac{\textcolor{red}{f(0)} + 1}{2} \lt \frac{\textcolor{red}{1} + 1}{2} \lt 1$，

$\therefore d<0 $。

$$\begin{aligned} & \qquad \qquad f(d) = 2^d = \frac{f(0) + \textcolor{red}{1}}{2} \\ & \implies f(d)\gt\frac{f(0) + \textcolor{red}{f(0)}}{2} \\ &\implies f(d) > f(0) \end{aligned}$$

由条件①得$D(d) \subseteq D(0)$，由③得$(0, -d)\subseteq D(0)$

$\therefore$ $(0, -d)\subseteq D(0)$ ④

构造一个$e$，$0\lt e \lt 1, e \in D(d)$

当$-d\gt 1$时，令$e=0.5$，

当$0\lt-d\leq 1$时，令$e=\frac{-d}{2}$，$0 \lt e \leq \frac{1}{2}$。

两种情况都有：$e\in D(0)$。

也就是：$f(0+e)>f(0)\implies f(e)>f(0)$。

与条件②矛盾，假设不成立，所以$f(0)\geq 1$。