已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且当$x<0$时，$f(x)=2^x$。对任意$x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合$D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

(2) 若$f(x)$是奇函数，$f(x_1)\le f(x_2)$，且$x_1x_2\ne0$，证明：$D(x_2)\subseteq D(x_1)$；

第二问

思路分析

首先要根据奇函数这个条件，写出函数解析式。

要证明$D(x_2)\subseteq D(x_1)$，要先求出$D(a)$，条件里有$x_1x_2\ne0$，也就是$x_1,x_2$都不为0，对$a$进行分类讨论，分为大于$0$和小于$0$两种情况。

要证明的命题条件里有$f(x_1) \leq f(x_2)$，结合函数的解析式，可以得出$x_1,x_2$需要满足的条件，进行分类讨论。

详解

第一步，写出函数的解析式：

$\because f(x)是奇函数$

$f(0)=-f(0)\implies f(0)=0$

$当x\gt 0时，-x \lt 0，f(x)=-f(-x)=-2^{-x}$

$$f(x)= \begin{cases} 2^x, & x<0\\ 0, & x=0 \\ -2^{-x}, & x>0 \end{cases}$$

第二步，当时求出$D(a)$，求解关于$d$的不等式：

$$f(a+\textcolor{red}{d}) > f(a)$$

1，当$a\gt0$时：

1.1，当$a+d\leq 0$，也就是$d\leq -a$时，

由函数解析式可知：$x \leq 0时f(x) \geq 0 ,x \gt 0时，f(x)<0$

对于$d$为任意值都有：$f(a+d)>f(a)$

结合分类条件$d\leq -a$，得到 $ d \leq -a$

1.2，当$a+d\gt 0$，也就是$d\gt -a$时，

$$\begin{aligned} &\quad \quad \quad f(a+d) > f(a) \\ &\implies -2^{-(d+a)} \gt -2^{-a} \quad(代入) \\ &\implies 2^{-(d+a)} \lt 2^{-a}\quad(同时乘以-1，变方向) \\ &\implies -(d+a) \lt -a\quad(2^x严格单调增) \\ &\implies d+a \gt a \quad(同时乘以-1，变方向) \\ &\implies d \gt 0(同时加-a，方向不变) \end{aligned}$$

结合分类条件$d\gt -a$，得到 $ d \gt 0$

合并得当$a\gt 0$时，$D(a)=(-\infty, -a] \cup (0, \infty)$

2，当$a\lt 0$时：

2.1，当$a+d\geq 0$，

由函数解析式可知：$x \lt 0时f(x) \gt 0 ,x \geq 0时，f(x)\leq 0$

对于$d$为任意值都有：$f(a+d)>f(a) \textcolor{red}{不成立}$

1.2，当$a+d\lt 0$，也就是$d\lt -a$时，

$$\begin{aligned} &\quad \quad \quad f(a+d) > f(a) \\ &\implies 2^{(d+a)} \gt 2^{a} \quad(代入) \\ &\implies d+a \gt a \quad(2^x严格单调增) \\ &\implies d \gt 0(同时加-a，方向不变) \end{aligned}$$

结合分类条件$d\lt -a$，得到$0 \lt d \lt -a$

合并得当$a\lt 0$时，$D(a)=(0, -a)$

总结D(a):

$\boxed{a\lt 0时，D(a)=(0, -a) \\}$

$\boxed{a\gt 0时，D(a)=(-\infty, -a] \cup (0, \infty)}$

第三步，证明命题

由函数解析式知道：

当$x \lt 0时，f(x) \gt 0，严格单调增$

当$x \gt 0时，f(x) \lt 0，严格单调增$

因为：$f(x_1)\leq f(x_2)$，且$x_1x_2\neq 0$：

1, 当$x_1,x_2$同为正时，必有：$x_1 \leq x_2，\textcolor{red}{-x_1 \geq -x_2} $

$$\begin{aligned} D(x_2) &= (-\infty, \textcolor{red}{-x_2}] \cup (0, \infty) \\ & \subseteq (-\infty, \textcolor{red}{-x_1}] \cup (0, \infty) = D(x_1) \end{aligned}$$

2, 当$x_1,x_2$同为负时，必有：$x_1 \leq x_2，\textcolor{red}{-x_1 \geq -x_2 }$

$ D(x_2) = (0, \textcolor{red}{-x_2}) \subseteq (0, \textcolor{red}{-x_1}) = D(x_1) $

3, 当$x_1,x_2$一正一负时，必有：$x_1 \gt 0，x_2 < 0$:

$$\begin{aligned} D(x_2) &= \textcolor{red}{(0, -x_2)} \\ & \subseteq (-\infty, -x_1] \cup \textcolor{red}{(0, \infty)} = D(x_1) \end{aligned}$$

综上，得证。