已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且当$x<0$时，$f(x)=2^x$。对任意$x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合$D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

(1) 若当$x\ge0$时，$f(x)=1-x$，求$D(-1)$；

第一问

思路分析

首先要理解集合的定义：

$$D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$$

这是描述法表示集合，

• 代表元素(元素记号)：$d$，范围全体实数 $\mathbb{\mathbb{R}}$；
• 约束条件：关于$d$的不等式 $f(x_0+d) > f(x_0)$，$x_0$看成常数；
• 下标 $x_0$：说明这个集合依赖参数 $x_0$，对每一个固定实数 $x_0$，都对应一个专属集合 $D(x_0)$，是含参集合。

比如：

$$\begin{aligned} &D(1)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(1+d)>f(1)\} \\ &D(-1)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(-1+d)>f(-1)\} \\ &D(a)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(a+d)>f(a)\} \end{aligned}$$

详解

$$f(x)= \begin{cases} 2^x,&x<0\\ 1-x,&x\ge0 \end{cases}$$

$D(-1)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(-1+d)>f(-1)\}$

分类讨论：

1, 当$\colorbox{yellow}{\(-1+d< 0\)}$ ，也就是$d<1$时，$f(-1+d)=2^{-1+d}$,

需要满足$2^{-1+d} \gt 2^{-1}$，因为$2^x$是严格单调增,

$-1 +d \gt -1 \implies d \gt 0$,

结合分类条件$d\lt 1$，得到 $0 \lt d \lt 1$

2，当$\colorbox{yellow}{\(-1+d\geq 0\)}$ ，也就是$d\geq 1$时，$f(-1+d)=1-(-1+d) = 2-d$,

需要满足$2-d \gt 2^{-1}$，得到$d \lt \frac{3}{2}$

结合分类条件$d\ge 1$，得到 $1 \leq d \lt \frac{3}{2}$

合并两类情况得：$\boxed{D(-1) = (0, \frac{3}{2})}$