$\large \colorbox{yellow}{\(【26年全国1卷第19题】\)}$ 已知函数$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$，且当$x<0$时，$f(x)=2^x$。对任意$x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合$D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}\mid f(x_0+d)>f(x_0)\}$。

$\large \colorbox{yellow}{\(【25年上海卷第21题】\)}$已知函数$y=f(x)$的定义域为$R$．对于正实数$a$，定义集合$M_{a}=\{x\mid f(x+a)=f(x)\}$．

详细分析

内容提要：

• 含参性
• 竖线后的条件是充要条件

26年全国1卷第19题

对任意$x_0 \in \mathbb{R}$，定义集合：$\large D(\colorbox{yellow}{\(x_0\)})=\{d\in\mathbb{R}\mid f(\colorbox{yellow}{\(x_0\)}+d)>f(\colorbox{yellow}{\(x_0\)})\}$

$括号内的x_0$：说明这个集合依赖参数 $x_0$，对每一个固定实数 $x_0$，都对应一个专属集合 $D(x_0)$。

比如：$\large D(\colorbox{yellow}{\(-1\)})=\{d\in\mathbb{R}\mid f(\colorbox{yellow}{\(-1\)}+d)>f(\colorbox{yellow}{\(-1\)})\}$

25年上海卷第21题

对于正实数$a$，定义集合$\large M_{\colorbox{yellow}{\(a\)}}=\{x\mid f(x+\colorbox{yellow}{\(a\)})=f(x)\}$

$下标的a$：说明这个集合依赖参数 $a$，对每一个固定正实数 $a$，都对应一个专属集合 $D(a)$。

比如：$\large M_{\colorbox{yellow}{\(2\)}}=\{x\mid f(x+\colorbox{yellow}{\(2\)})=f(x)\}$

是充分必要条件意味着：

1，有一个大于关系就可以得到一个集合的元素,

比如：$f(0)>f(0.5)\implies f(-0.5 + 0.5)\gt f(0.5)\implies -0.5 \in D(0.5)$

2，知道一个集合的元素就可以得到一个大于关系,

比如$1 \in D(2)\implies f(2+1)\gt f(2)$

是充分必要条件意味着：

1，有一个相等关系就可以得到一个集合的元素,

比如：$f(-0.3)=f(0.3)\implies f(-0.3)= f(-0.3+0.6)\implies -0.3 \in M_{0.6}$

2，知道一个集合的元素就可以得到一个相等关系,

比如$-0.3 \in M_2\implies f(-0.3) = f(2-0.3)$