【26年全国2卷第19题】

已知函数 $f(x)=xe^x+ax+b$，曲线 $y=f(x)$ 在 $(0,f(0))$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$。

2. 当 $x>0$ 时，$f(x+m)-f(x)>m$，求 $m$ 的取值范围；

3. 当 $x>0$ 时，$f(x+\boldsymbol{k})+f(\boldsymbol{k}-x)>2f(\boldsymbol{k})$，求 $\boldsymbol{k}$ 的最小值。

【24年全国新课标1卷第18题】

已知函数$f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^{3}$

（3）若$f(x)>-2$当且仅当$1<x<2$，求$b$的取值范围。

【24年理科全国甲卷第21题】

已知函数 $f(x)=(1-ax)\ln(1+x)-x$。

（2）当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\ge 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

解题策略

• 26年全国2卷第19题第二问，利用初等工具判断单调性
• 24年全国新课标1卷第18题第三问，求出一阶导数，分类讨论
• 26年全国2卷第19题第三问，24年理科全国甲卷第21题第三问，利用端点处的二阶导数得到必要条件，再验证充分性。

26年全国2卷第19题第二问

$h(x)=(e^m-1)xe^x+me^me^x-4m$

24年全国新课标1卷第18题第三问

$f'(t)=\frac {\large t^2(-3bt^2+3b+2)}{\large (1+t)(1-t)}$

26年全国2卷第19题第三问，

$f'(x)=e^k[xe^x+xe^{-x}+(k+1)(e^x-e^{-x})]$

$f''(x)=e^k[xe^x-xe^{-x}+(k+2)(e^x+e^{-x})]$

24年理科全国甲卷第21题第三问

$f'(x)=a\ln(1+x)+\dfrac{\large a+1}{\large 1+x}-(a+1)$

$f''(x)=\frac{\large -ax-2a-1}{\large (1+x)^2}$