已知函数 $f(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac12x^2-kx^3$，其中 $0<k<\dfrac13$。

（2）设 $x_1,x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 的极值点和零点。

（i）设函数 $g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)$，证明：$g(t)$ 在区间 $(0,x_1)$ 单调递减；

（ii）比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小，并证明你的结论。

第二问（ii）思路分析

$x_2$是零点，也就是$f(x_2) = 0$;

第一问已经知道了：$x\gt x_1时，f(x)严格减 \quad ③$；

$x_2和2x_1$都在这个单调减区间里；

比较 $2x_1$ 和 $x_2$ 转化为比较$f(x_2)和f(2x_1)$;

由第二问第一部分的结论：

$$\begin{aligned} &\qquad \quad g(0)>g(x_1) \\ & \implies f(x_1+0)-f(x_1+0)\gt f(x_1+x_1) - f(x_1 -x_1) \\ & \implies \colorbox{yellow}{\(0 \gt f(2x_1)\)} \\ \end{aligned}$$

$\large \colorbox{yellow}{\(\therefore 2x_1 \gt x_2\)}$