已知函数 $f(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac12x^2-kx^3$，其中 $0<k<\dfrac13$。

（1）证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点；

第一问思路分析

内容提要：

• 求导数
• 说明极值点存在并且唯一，是最大值点
• 说明在 $0$ 和最大值点之间不存在零点
• 说明最大值点右边有唯一零点

$$\begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{x+1} - 1 + x -3kx^2 \\ &=\frac{1}{1+x} + \frac{x^2-1}{1+x}-3kx^2 \\ &=\frac{x^2}{1+x}-3kx^2 \\ &={\Large \colorbox{yellow}{\(x^2(\frac{1}{1+x}-3k)\)}} \end{aligned}$$

只有当 $\large \frac{1}{1+x}=3k$ 时，也就是 $\large x=\frac{1}{3k}-1$，$f'(x) = 0$;

并且反比例函数是由大变小的，说明驻点左边导数值大于0，函数严格增，右边小于0，函数严格减，说明是$\colorbox{yellow}{\(最大值点\)}$；

$\large f(0) = 0 \implies \colorbox{yellow}{\(最大值大于0\)}$

完成证明：

$$\large \colorbox{yellow}{\(极值点存在且唯一\)}$$

$\large \because f(0) = 0$

从零到最大值点之间是递增的，所以：

$\large \colorbox{yellow}{\(在零和最大值点之间没有零点\)}$

$$\begin{aligned} f(x)&=\ln(1+x)-x+\dfrac12x^2-kx^3 \\&=\underbrace{\ln(1+x)-x}_{1}+\underbrace{\dfrac12x^2-kx^3}_{2} \end{aligned}$$

当 $\large x$足够大时，两部分都小于0，说明$\large \colorbox{yellow}{\(说明零点存在\)}$。

大于最大值点是严格减的，说明$\large \colorbox{yellow}{\(说明零点唯一\)}$