已知函数f(x)=lnx2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln \dfrac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^{3}f(x)=ln2−xx+ax+b(x−1)3
（2）证明：曲线y=f(x)y=f(x)y=f(x)是中心对称图形；
先求出定义域：(0,2)(0,2)(0,2)；
对称点的横坐标只能是 111；
要想满足中心对称，f(1+t)+f(1−t)f(1+t)+f(1-t)f(1+t)+f(1−t)是一个常数
函数有定义须满足 x2−x>0\frac{x}{2-x} \gt 02−xx>0
解不等式得 0<x<20\lt x \lt 20<x<2
f(1+t)+f(1−t)=ln1+t1−t+a(1+t)+b(t)3+ln1−t1+t+a(1−t)+b(−t)3=2a ⟹ f(1+t)−a=a−f(1−t) ⟹ f(1+t)−a=−[f(1−t)−a]\begin{aligned} &\qquad f(1+t)+f(1-t)&\\&=ln\frac{1+t}{1-t}+a(1+t)+b(t)^3 \\ &\quad+ln\frac{1-t}{1+t}+a(1-t)+b(-t)^3 \\ &=2a \\ & \implies f(1+t)-a=a-f(1-t) \\ &\implies f(1+t)-a=-[f(1-t)-a] \\ \end{aligned} f(1+t)+f(1−t)=ln1−t1+t+a(1+t)+b(t)3+ln1+t1−t+a(1−t)+b(−t)3=2a⟹f(1+t)−a=a−f(1−t)⟹f(1+t)−a=−[f(1−t)−a]
∴曲线\therefore 曲线∴曲线y=f(x)是中心对称图形是中心对称图形是中心对称图形